对于自然界中出现的许多偏微分方程，特别是具有强非线性或各向异性的偏微分方程，选择合适的预条件子会对迭代方法收敛快、慢或根本不收敛有很大影响。已知具有快速有效预条件子的问题示例包括强椭圆偏微分方程，其中多重网格方法经常实现快速收敛。有许多测试可以用来评估收敛性；在这里，我将使用 PETSc 的功能作为示例，因为它可以说是用于迭代求解线性（和非线性方程）的稀疏系统的最古老和最成熟的库。

PETSc 使用称为 KSPMonitor 的对象来监控迭代求解器的进度，并确定求解器是收敛还是发散。监视器使用四种不同的标准来决定是否停止。有关此处讨论的更多详细信息，请参见KSPGetConvergedReason()的手册页。

我们假设用户正在为以下方程组求解$x$：

1. 左预处理$\left(P^{-1}(Ax − b) \right)$

   $$\hat{r}=P^{-1}(A\hat{x}-b)$$

2. 无/正确的预处理$\left(AP^{-1}Px = b \right)$

   $$\hat{r}=A\hat{x}-b$$

收敛标准

1. Absolute Tolerance - 当残差的范数小于预定义常数时，满足绝对公差标准$a_{tol}$： $$\|\hat{r}\| \le a_{tol}$$
2. 相对容差 - 当残差的范数小于右侧范数一个预定义常数的因子时，满足相对容差标准：$r_{tol}$ $$\|\hat{r}\| \le r_{tol}\cdot \|b\|$$
3. 其他标准- 由于检测到小步长或负曲率，迭代求解也可以收敛。

分歧标准

1. 最大迭代次数 - 求解器可以进行的迭代次数受最大迭代次数的限制。如果在达到最大迭代次数时没有满足其他条件，则监视器返回发散。

2. 残差 NaN - 如果在任何时候残差评估为 NaN，则求解器返回发散。

3. 残差范数的发散 如果在任何点残差范数大于右侧范数一个预定义常数的因子，则监视器返回发散： $d_{tol}$

   $$\|\hat{r}\| \ge d_{tol}\cdot \|b\|$$

4. Solver Breakdown Krylov 方法本身可以在检测到奇异矩阵或预条件子时发出分歧信号。