在某些情况下，使用定点算术可能是合适的。通常对于科学计算（至少在大多数人认为的意义上）它是不合适的，因为需要表达遇到的大动态范围。您以特征值问题为例，但在科学中，人们经常对矩阵的最小特征值感兴趣（例如，计算量子系统的基态）。如果使用定点，小特征值的精度通常会相对于大特征值大幅下降。如果您的矩阵包含以大比率变化的条目，则小特征值可能在工作精度中完全无法表达。这是数字表示的问题；无论您如何进行中间计算，这些参数都成立。您可能会制定一个缩放比例以应用于计算结果，但现在您刚刚发明了浮点数。构造元素表现良好但特征值表现极差的矩阵很容易（如威尔金森矩阵，甚至是具有完全整数项的矩阵）。这些例子并不像看起来那样病态，科学前沿的许多问题都涉及性能非常差的矩阵，因此在这种情况下使用定点是一个坏主意(TM)。

您可能会争辩说您知道结果的大小并且不想在指数上浪费位，所以让我们谈谈中间体。使用定点通常会加剧灾难性取消和舍入的影响，除非您真的非常努力地以更高的精度工作。性能损失将是巨大的，我猜想使用具有相同尾数位宽度的浮点表示会更快、更准确。

定点可以发光的一个领域是几何计算的某些领域。特别是如果您需要精确的算术运算或事先知道所有数字的动态范围，定点可让您利用表示中的所有位。例如，假设您想计算两条线的交点，并且两条线的端点以某种方式归一化以位于单位正方形中。在这种情况下，与使用等效的浮点数（这将浪费指数上的位）相比，可以用更多位的精度表示交点。现在，几乎可以肯定的是，此计算中所需的中间数需要以更高的精度计算，或者至少需要非常小心地计算（就像将两个数字的乘积除以另一个数字一样，您需要非常小心）。在这方面，从表示的角度而不是从计算的角度来看，定点更有优势，而且我什至可以说，当您可以在算法输出的动态范围上建立明确的上限和下限时，这通常是正确的. 这种情况很少发生。

我曾经认为浮点表示是粗略的或不准确的（为什么要在指数上浪费位？！）。但随着时间的推移，我开始意识到它确实是实数的最佳表示之一。自然界中的事物以对数刻度显示，因此真实数据最终会跨越大范围的指数。此外，要获得尽可能高的相对精度，还需要使用对数刻度，使指数的跟踪更加自然。“自然”表示的唯一其他竞争者是对称级别索引。然而，加法和减法在这种表示中要慢得多，而且它缺乏 IEEE 754 的硬件支持。浮点标准投入了大量的思想，由数值线性代数的支柱。我认为他知道数字的“正确”表示是什么。

作为一个为什么很少使用精确算术/定点算术的例子，考虑一下：

• 在有限元方法中，就像在科学计算中使用的几乎所有其他方法一样，我们得到的线性或非线性系统只是对现实世界的近似。例如，在 FEM 中，要求解的线性系统只是原始偏微分方程的近似值（其本身可能只是现实世界的近似值）。那么，为什么要付出巨大的努力来解决只是一个近似值的问题呢？

• 我们今天使用的大多数算法本质上都是迭代的：牛顿法、共轭梯度等。只要我们对问题解决方案的迭代近似的准确性感到满意，我们就会终止这些迭代。换句话说，我们在得到精确解之前就终止了。和以前一样，当我们知道我们只是在计算近似值时，为什么要对迭代方案使用精确算术呢？

如果您查看此库以进行正确的舍入：CRlibm，您将在文档中看到通常必须证明算法是准确的（通过合理的证明）。为什么？函数结果的稳定性和收敛速度没有“一刀切”的答案。简而言之，没有免费的午餐——你必须努力证明你的推理是正确的。这是由于被建模的函数的行为，而不是底层硬件（无论您使用整数还是浮点单位，虽然是的，但两者都有“陷阱”，如上溢/下溢、非正规数等）即使结果您正在寻找收敛到整数，用于查找结果的算法不一定非常稳定。

Eigen 是一个 C++ 库，它具有用于求解矩阵的多种算法，每种算法具有不同的属性。 此页面包含一个表格，讨论了用于求解矩阵的各种算法的速度与准确性权衡。我怀疑 Eigen 库可以做你想做的事。:-)

有关高精度算术在数学中的用处的一些很好的例子，请查看Jonathan Borwein 和 David Bailey所著的《 Mathematics by Experiment 》一书。还有这个续集，我没看过。