计算科学 - 不可压缩 Navier-Stokes 的制造解决方案 - 如何找到无散速度场？ - 吾爱随笔录

不可压缩 Navier-Stokes 的制造解决方案 - 如何找到无散速度场？

计算科学纳维斯托克斯不可压缩确认

2021-12-03 05:26:41

在制造解法 (MMS) 中，假设一个精确解，将其代入方程并计算相应的源项。然后将该解决方案用于代码验证。

对于不可压缩的 Navier-Stokes 方程，MMS 很容易导致连续性方程中的（非零）源项。但并非所有代码都允许连续性方程中的源项，因此对于这些代码，只有具有无散速度场的制造解才可以。我为一个域找到了这个例子 $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} u_{1} & = - \cos (π x) \sin (π y) \\ u_{2} & = \sin (π x) \cos (π y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$ 在一般 3D 情况下，如何制造无散度速度场？

3个回答

使用向量流函数或取两个梯度的叉积。即：其中是您选择的向量场，或其中和是您选择的两个标量场。

u = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$

A

$\boldsymbol{A}$

u = \nabla f \times \nabla g

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$

f

$f$

g

$g$

很难让速度既没有发散又规定了边界条件，但是只要您的代码允许您为边界条件设置任意函数，就应该没问题。

ETA：当然，你的动量方程必须接受一个强制函数，但我总是觉得强制动量方程比在连续方程的右手边添加一个更好。

这不是一个普遍的答案，但对于 Navier-Stokes 方程，有描述实际流动的制造解。例如，Kovasznay 流场是一种流行的选择：

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

原始参考资料是：Kovasznay LIG，“二维网格后面的层流”。过程。剑桥哲学。社会学杂志，第 44 页，1948 年。

这就是我通常做的。

定义流线函数：

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

速度等于：

u = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} u_{x} = \partial_{y} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{y} \\ u_{y} = \partial_{z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{z} \\ u_{z} = \partial_{x} ψ_{y} - \partial_{y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

现在您可以选择任何合理的零平均压力并构造一个强制项。

我发布了和齐次边界条件的 SymPy 示例代码，享受： $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

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