计算科学 - 关于量子蒙特卡罗的困惑 - 吾爱随笔录

我的问题是关于从 QMC 方法中提取 observables，如本参考中所述。

我了解各种 QMC 方法的形式推导，例如 Path Integral Monte Carlo。然而，在一天结束的时候，我仍然对如何有效地使用这些技术感到困惑。

推导 Quantum MC 方法的基本思想是通过 Trotter 近似离散化一个算子，该算子可以是量子系统的密度矩阵或时间演化算子。然后，我们获得了一个具有额外维度的经典系统，可以使用 MC 方法进行处理。

鉴于我们可以将量子算子解释为逆温度和虚时间，这些算法的目标应该是计算该算子的近似值。实际上，如果我们直接从模拟中采样的各种配置中测量数量，在“逆温度”情况下，我们将有关于基于的概率密度的样本，其中是引入的离散步骤数猪蹄分解。相反，在“虚构时间”的情况下，我们将在各种离散时间步长处获得样本，从而获得沿时间的平均值。我们也不会得到像 $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ 在给定时间，使用一些可观察的运算符。 $t$ $\hat{A}$

但是，在我看来，我们直接从这种模拟中采样的数量（取自文档的（5.34），第 35 页）：

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

不可能是与量子系统相关的量，给定额外的维度。相反，可以通过像 (5.35) 这样的公式来计算正确的量子量，该公式在每个样本中都包含一个完整的个模拟配置链： $M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

我是否需要一系列 QMC 模拟来提取有关给定可观察的有用信息？