例如，不定矩阵系统出现在通过混合有限元对鞍点问题进行离散化中。然后可以将系统矩阵置于以下形式
其中是负（半）定，是正（半）定，是任意的。当然，根据惯例，您可以使用确定性条件，但这几乎就是这些矩阵的结构。
对于这些方法，可以采用Uzawa的方法，这实际上只是将系统转化为可以通过共轭梯度、梯度下降等方法求解的等价半定系统的“技巧”。
我面临一个没有这种块结构的不确定系统。在这种情况下，宇泽类型的方法不适用。我知道 Paige & Saunders 引入的最小残差方法 (MINRES)，它只是一个三项递归，似乎很容易实现。
问题： MINRES 通常是一个不错的选择，例如，用于原型设计吗？有实际意义吗？目前，预处理不是核心问题。
如果您不关心预处理，那么 MINRES 是标准选择。但是，请注意 MINRES 需要一个对称的正定预条件子。
如果您关心预处理，那么重要的是要考虑大多数鞍点问题和一般不定问题之间的结构差异。大多数鞍点问题是在求解具有拉格朗日乘数强制约束的椭圆问题时出现的。不可压缩性和接触约束是常见的例子。对于此类问题，算子对满足约束的子空间具有强制性，格林函数会迅速衰减。可以使用块预处理器（预处理 Uzawa 是该家族的成员）、具有兼容平滑器的多重网格（例如 Vanka 或基于块分解）或具有适当局部和粗略问题的多级域分解来有效解决此类问题。
不是鞍点问题的不定问题的典型示例是亥姆霍兹方程
其中在上下均由正常数限定。对于大，格林函数是高度振荡的，这使得预处理（和离散化）变得困难。两种合理的方法是基于完美匹配层的扫描预处理器和“波射线多重网格”，如对该问题的回答中所述。不幸的是，这些方法对于特定的方程式和技术来说是相当定制的。
可能感兴趣的一个相关问题是选择稀疏线性系统求解器时应该遵循哪些准则？，尽管在这种情况下，您只会对迭代方法感兴趣。我对迭代方法的理解是，任何给定方法的收敛性在很大程度上取决于矩阵的频谱。即使您不能使用 Uzawa 的方法，您仍然可以尝试 GMRES、双共轭稳定梯度、MINRES、准最小残差法以及其他适用于不定矩阵的迭代方法。
如果对各种方法进行编码是一个问题，您可以使用诸如PETSc之类的库在算法中调用求解器，该库实现了各种迭代线性求解器。
MINRES 是此类问题的最佳选择。