具有非线性 Dirichlet 边界条件的 PDE 是否有任何应用？也就是说，我正在寻找一个状态的偏微分方程的例子$u$在域上提出$\Omega$和$g(u|_{\Gamma})=0$， 在哪里$\Gamma$是的边界$\Omega$和$g\in L^2(\Gamma)\to L^2(\Gamma)$是非线性函数。

请注意，我正在寻找纯狄利克雷条件。我知道热传导的 Stefan-Boltzmann 边界条件，但它们是 Robin 型边界条件。

编辑：

正如@Wolfgang Bangerth 在他的回答中指出的那样，通过非线性分配边界值是没有意义的$g\in L^2(\Gamma)\to L^2(\Gamma)$.

如果边界值通过函数固定怎么办$G \in \bigl ( L^2(\Omega) \to L^2(\Gamma) \bigr)$? 就像是$u|_\Gamma(x)=g(x)\|u\|$. 有没有人遇到过这样的例子。

我在这一点上非常坚持，因为我正在研究通过乘数来结合 PDE 的边界条件。当不是解析 ansatz 空间中的 BC，而是查看 完成的形式的 PDE 时，其中可能发生的事情很有趣。$F(u)=0 \text{ in } (H^1(\Omega))',$$G(u)=0$$G:H^1(\Omega) \to H^{1/2}(\Gamma)$$G$

编辑2：

在考虑非定常过程时，即使边界数据允许多个值，也可能存在唯一解。制定的 Stefan 问题，例如Nochetto 等人所考虑的。.$g(u)=0$$u$

在那里，边界条件是根据 \Gamma 上的\的，其中是单调 Lipshitz 连续标量函数，其中 - 特别是 -对于。$\theta(u)=0$$\Gamma$$\theta$$\theta(s)=0$$s\in(0,1)$

因此，没有办法将非线性 Dirichlet 简化为线性分配，因为在感兴趣区域中不是单射的。$\theta$

编辑 3：

非线性边界条件的另一个来源是自由表面问题，其中边界本身取决于解。例如，请参阅Sprittles 和 Shikhmurzaev 的论文的ArXiv 预印本。

同样，这与@Wolfgang Bangerth 的回答一致，因为自由表面问题的 BC 涉及空间导数，因此是非局部的。在他的《非线性偏微分方程与应用》一书中（第 155 页），作者 Roubicek 提供了一个多孔介质中流动润湿问题的示例。除了作为偏微分变分不等式的公式之外，它还包括 在非渗透界面上