我有一个密集矩阵 A 及其对应的逆矩阵$A^{-1}$. 伍德伯里矩阵恒等式状态：

$$(A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$$

我希望对对角线进行小更新$A$并计算相应的$A^{-1}$. 更新实际上可以描述为一个常数$k$乘以一个单位矩阵：$kI$就我而言$U=V^T$在哪里$V$是一个只有 1 和 0 的高矩阵，用于选择所需的对角线位置$A$修改。

到目前为止一切都很好，除了$k$需要相当大（例如，$10^6$）。我注意到对于大$k$, 所做的更改在没有重大错误的情况下不是“可逆的”。我所说的可逆是执行两个更新步骤，一个是$kI$在原版上$A$还有一个$-kI$在更新的矩阵上恢复原始$A^{-1}$. 如果$k$足够小，它工作正常，但否则我会遇到严重的准确性问题，并且生成的矩阵与最初的矩阵不匹配。对于我的目标应用程序，我需要能够申请$k$对角元素或$-k$随意，所以我的问题是：是否有一种聪明的方法可以做到这一点，即使对于较大的值$k$?

注意：我对所有存储的值和计算使用双精度。此外，$k$是实数标量，但矩阵$A$很复杂，尽管在这种情况下这并不重要。