计算科学 - 边界条件（例如周期性）在泊松方程中的作用 - 吾爱随笔录

边界条件（例如周期性）在泊松方程中的作用

计算科学 pde 边界条件椭圆pde

2021-11-28 09:36:55

给定 3D Poisson 方程以及右手边和域，我可以自由对函数施加任何边界条件 (BC)，或者它们是否必须以某种方式与右侧一致？特别是，如果我强加定期 BC，那么任何右手边都会有一个解决方案吗？

\nabla^{2} ϕ (x, y, z) = f (x, y, z)

$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$

ϕ

$\phi$

例如，让：我在一个盒子上求解。现在任何解都必须是的总和，其中：因为，而是任意调和函数（即）。正确的？

f (x, y, z) = - 3 π^{2} \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z)

$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$

(0, 1) \times (0, 1) \times (0, 1)

$(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$

ϕ_{0} + ϕ_{1}

$\phi_0+\phi_1$

ϕ_{0} (x, y, z) = \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z),

$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$

\nabla^{2} ϕ_{0} = f

$\nabla^2\phi_0 = f$

ϕ_{1}

$\phi_1$

\nabla^{2} ϕ_{1} = 0

$\nabla^2\phi_1 = 0$

如果我施加零 Dirichlet BC，那么是唯一的解，因为它满足 BC，满足方程并且解必须是唯一的。正确的？ $\phi_0$

如果我强加定期 BC 怎么办？这是否意味着会有一些调和函数使得满足周期性 BC 并求解方程？在这种情况下，这个是什么？ $\phi_1$ $\phi_0+\phi_1$ $\phi_1$

3个回答

从数值的角度来看，直接讨论离散化可能是最容易的。

对于具有齐次 Dirichlet 边界条件的 Poisson 方程，任何右手边都有唯一解。一旦离散化，方程可以写成的形式，其中是具有狄利克雷边界的 3D 拉普拉斯算子的标准离散化，是的标准离散化。由于是正确定的，它是可逆的，并且系统将对任何具有唯一解，因此对于任何。 $Ax = b$ $A$ $b$ $f$ $A$ $b$ $f$

当然，欠采样通常存在一些问题。的两个不同值由于使用粗网格或由于中的不连续性而产生相同的离散化，则对于实际求解的系统可能存在一些歧义。但只要的离散化表现良好，就会存在一个有意义的唯一解。 $f$ $f$ $f$

在周期性边界条件的情况下，情况稍微复杂一些，因为具有周期性边界的 3D 拉普拉斯算子的标准离散化是半正定的，并且具有一维核，包括形式为且为常数的解。 $K$ $x \equiv C$ $C$

因为在周期性情况下仍然是对称的，所以我们有，所以没有解，除非，其中是由全 1 组成的向量。这为离散形式的右侧提供了一致性条件。 $A$ $\operatorname{Range} A = K^\perp$ $Ax = b$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$ $\mathbf{1}$

请注意，从分析上看，有一种更简单的方法来看待它。回想一下，对于，其中是我们的域，我们有上规定一个周期性边界条件，那么右边的边界项就消失了，剩下的就是所以如果满足，紧接着我们必须有这是 $\phi \in C^2(\Omega)$ $\Omega$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = \int_{\partial Ω} \frac{\partial ϕ}{\partial n} d S .

$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$

ϕ

$\phi$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = 0.

$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$

ϕ

$\phi$

Δ ϕ = f

$\Delta \phi = f$

\int_{Ω} f d x = 0.

$\int_\Omega f\, dx = 0.$

1 \cdot b = 0

$\mathbf{1} \cdot b = 0$ ，因为两者都表示的平均值，因此，在域上的平均值必须为零。

f

$f$

b

$b$

我知道已经有 2 年了。但这里有一个物理学的例子，可以把它锤回家。考虑您正在求解泊松方程：右手边的静电势（φ）：并且，在所有网格中都指定了 ρ（电荷密度）点。

\nabla^{2} ϕ = f

$\nabla^2\phi =f$

f = (- ρ / ε o)

$f=(-ρ/εo)$

声明：对于周期解，∫ρdv=0 条件（上述 Ben 描述）将系统设置为网络中性。这是一种很好的（物理）方式来考虑周期框上 f 的平均值。

现在让我们测试一下这个语句。对于周期性边界条件，电场在盒子表面上的积分必须为零（您总是可以在盒子表面上找到成对的点在积分中相互抵消）。

然后根据散度定理（高斯定律），盒子应该是中性的，这就是我们要证明的。

\oint_{S} E_{n} d A = \frac{1}{ε_{0}} Q_{i n s i d e} = 0

$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$

这里有点物理，但我认为它为这里的讨论提供了很好的强化。

在生成泊松方程的制造解的方法时需要特别小心。由于源项的定义必须满足 PDE 的强形式和 PDE 的弱形式。上面给出的推导基本上是使用 PDE 的弱形式。换句话说，边界处解的梯度与域上的源项积分之间存在关系。

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