将 Dirichlet 边界自由度设置为一个值是有数学依据的。但是，您应该相应地调整您的变体形式。如果您正在查看一般问题，请说：

求使得$u\in\mathcal{U}$

$a(u,w)=l(w) \ \ \forall w\in\mathcal{V}$

在哪里

$\mathcal{U}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=g\text{ on }\Gamma_D\}$

$\mathcal{V}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=0\text{ on }\Gamma_D\}$

相反，我们可以写成其中和是狄利克雷条件。那么变分形式就变成了$u = v + g$$v\in\mathcal{V}$$g$

$a(v+g,w)=l(w)$

或通过使用$a(.,.)$

$a(v,w)=l(w)-a(g,w)$

在有限元代码中，您可以形成单元刚度矩阵，就好像没有边界条件一样。然后取对应于狄利克雷边界条件的局部矩阵的列，按要强制执行的系数对其进行缩放，然后从右侧减去它。这是我上面写的的离散形式。然后你将该列和相应的狄利克雷行归零，在对角线上放置一个 1 和你希望强制执行的系数。这将方程与系统解耦，并设置您希望强制执行的值。$-a(g,w)$

我推荐Tom Hughes的有限元方法：线性静态和动态有限元分析。他从第 8 页开始对这个问题进行了扩展讨论。

为了用变分推理来补充 Nathan 的出色答案，在实现有限元时通常需要算法细节。例如，

我的个人笔记中也有关于这个主题的更详细的解释。请参阅“约束线性系统”一章。