我有一部分由动量守恒方程描述的问题：

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u \sin \theta) =0$

其中和（恒定速度）。$u=f(\theta)$$\rho = f(\theta,t)$

天真地可以应用此处列出的解决方案之一。手头的问题最好用球极坐标（薄球壳）和笛卡尔坐标系来描述。在离散化这个方程之前我必须进行某种坐标变换还是可以直接离散化它？

其次，有什么理由应该首先扩展$\theta$中的导数，然后尝试离散化？

作为说明 - 我已经完成了上述几项并获得了似乎不一致的解决方案（实际上有几个似乎是有意义的）。我感兴趣的是是否应该进行适当的坐标转换，或者前面提到的任何方法是否就足够了。

编辑：

我将通量定义为：

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1} \sin{\theta_{i+1}}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} \sin{\theta_{i-1}} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}}$

我猜测定义通量的“正确”方法是在 '细胞边界'而不是在细胞中心这将更符合通量的定义。$\sin{\theta}$$\pm\frac{1}{2}$

最后一个问题 - 我应该在边界处做什么（尤其是一个问题，我完全避免了这一点）。$\theta = 0$