我将以参数估计问题为例，简单介绍一下什么是逆问题，然后列出我对学习这个主题的一些建议。

一个著名的例子是卡尔德隆问题，它基本上关注的是如何使用边界测量数据来确定内部域的材料相关参数。您提到的有限元方法用于解决正向问题（！）而不是逆向问题，一类问题可以表述如下：

给定数据$d$在边界上，材料参数$\beta$您想估计，前向问题是：

$$\mathcal{A}(\beta) u = f$$ 其中微分算子$\mathcal{A}$取决于参数，还伴随着一些边界条件（见备注1）。前向问题实际上可能是不适定的。

现在，您的逆问题将使用此 PDE 作为约束，以解决如下所示的功能最小化问题：

$$\min_{u,\beta} \mathfrak{F}(u,\beta,d,u_h,\beta_h)$$ 例如，是你的目标泛函，可能是 Tikhonov 泛函，等等。（见备注 2）$\mathfrak{F}$

开展该领域研究的先决条件是：

• 如果你想对逆问题做一些理论工作，泛函分析是必须的，因为你将使用 Fréchet 导数作为你的日常零食。还需要一些 PDE 理论。为此，阅读 Lars Hörmander 的四卷系列“线性偏微分算子分析”会非常好，但它会花费太多时间。一本相当简洁但难以阅读的书是维克多·伊萨科夫的偏微分方程的逆问题，顺便说一句，尽管伊萨科夫在一所不太著名的大学工作，但他一直被认为是研究逆问题的伟大数学家之一Gunther Uhlmann、Stanley Osher等（更多书籍推荐见备注3）

• 既然你提到了有限元，我猜你想从一个更数值的角度来学习这个话题，那么 Stig Larsson 的书偏微分方程与数值方法即使你不是数值分析师也不难阅读，它会得到你从有限元方法开始。对于有限元方法和反问题之间的联系，我所知道的没有专门的书，但是有很多关于这方面的研究文章。例如，Gunther Uhlmann 编辑的反问题的当前发展：Inside Out: Invserse Problems and Applications应该是对一些高级研究领域的简洁介绍。

综上所述，我的建议是：先知道你要做什么 PDE 约束优化，不要理会它背后冗长的数学理论，然后去学习相应的正向问题的有限元方法，最后回到逆问题，看看你需要什么。

SOME UPDATES 备注 1：如果我们只有一个边界测量，我们可以将数据视为正向问题的狄利克雷边界条件；如果我们知道的是一个映射（！），也就是Dirichlet-Neumann映射，即给定一定频率的输入电磁波，我们可以在边界上得到一定的反馈，那么边界数据不是前向问题的边界条件，而是 Dirichlet-Neumann 映射，像一个黑匣子一样工作。$d$$d$

备注2：这里有一个潜在的困难，由于高频波的特性，目标泛函可能有很多很多的局部最小值，这个问题仍然是一个开放的研究领域。

备注3：今天咨询了做Dirichlet-Neumann映射的同事，他又推荐了两本书，第一本是Gunter Uhlmann和Joel Feldman尚未出版的讲义，这是一本更人性化的读物比伊萨科夫的。另一本书是 Colton 和 Kress 所著的《逆声学和电磁散射理论》，假设您了解一些 PDE 和/或泛函分析和/或有限元，这本书对用户更加友好。

作为一个无耻的插件，如果您熟悉有限元方法并想了解解决逆问题的现代数值方法，我有一篇关于此的论文： http: //epubs.siam.org/sisc/resource /1/sjoce3/v30/i6/p2965_s1?isAuthorized=no

基本上有两种方法可以解决 PDE 系统的逆问题。要么将其作为优化问题，要么将其作为卡尔曼滤波（概率方法）技术。如果您的 PDE 系统包含不确定性，则后一种方法很有用。这可能包括建模错误等。

如果您的 PDE 系统足够大，则优化方法的计算量会变得过高（可能与卡尔曼滤波技术一样昂贵）。因此，像伴随计算这样有效计算梯度的方法是非常有益的。为什么这样有效？因为伴随方法需要两次模拟（一个前向模拟和一个后向模拟），无论决策变量的数量如何。与使用需要 N 次模拟的有限差分方法计算梯度相反，其中 N 是决策变量的数量。PDE 系统的基于非梯度（无导数）的优化，虽然它们很容易实现，但优化在运行时方面可能代价高昂。

要对 PDE 系统建模，是的，可以使用有限元。但这取决于完全符合物理学的 PDE 系统的性质。

并且不要忘记 PDE 系统的逆问题是一个不适定问题。因为您无法获得与要估计的参数和/或状态变量一样多的测量数据。因此，解决方案不是唯一的。

对于贝叶斯观点，Stuart 的论文“逆问题：贝叶斯观点”非常好。不过还是挺先进的。也许人们可以开始阅读那篇论文，然后在使用不熟悉的概念时回溯并学习必要的背景知识。

对于优化方法，我发现Bangerth 博士论文中的解释非常简洁明了（实际上我更喜欢他在此线程中发布的另一篇论文）。同样，如果您刚刚开始学习，就必须不断地回溯以充实您的知识。