Kirby 和 Mitchell 的这篇论文描述了$C^1$Firedrake 包中的元素*。主要用例之一是双谐波问题，它出现在薄板的弹性变形或其他高阶 PDE（如 Cahn-Hilliard）中。我阅读报纸并与 Rob Kirby 交谈的印象是$C^1$元素更好，但使用频率相对较低，因为它们难以实现。 例如，该论文的主要技术创新之一是围绕用于将物理三角形映射到参考三角形的方案。对于拉格朗日元素，这很容易——您只需使用仿射变换。为了$H(\textrm{div})$-您需要使用 Piola 转换的符合元素，对于 Argyris 和相关元素，转换更加不寻常。该论文的一项发现（见图 15）是$C^1$元素产生了更有利的稀疏模式，与基于相同阶多项式的非一致性方法相比，该模式需要更少的时间来分解。因此，与使用具有相同阶数的多项式的惩罚或 DG 公式相比，基本上您可以以更低的成本获得相同的精度。

*免责声明，我为 Firedrake 做出了贡献，并为我的工作开发了一个基于它的应用程序。

$C^1$元素大多是历史遗迹。在有限元方法中，传统观点认为最好的方法是“符合”，即有限元空间的方法$V_h$是空间的子空间$V$解决方案在哪里。对于二阶椭圆方程，$V=H^1$连续和分段多项式（但不一定连续可微）的函数是$V$.

但对于四阶方程，例如双调和方程，情况并非如此。那里，$V=H^2$它只包含连续可微的函数（即，$C^1$）。所以在那种情况下，通常的拉格朗日元素不是$V$并且不清楚如何用这些元素实现双线性形式。所以人们，回到 1960 年代，开发了$C^1$并且因此$V_h \subset V$. 这行得通，但是对于不合格的网格，这些元素很难实现，而且它们不太适合我们今天对元素的系统视图，尽管 Kirby 和 Mitchell 的论文在其他评论之一中提到。

但从 1990 年代开始，我们学会了如何更有效地使用非一致性元素——首先是椭圆方程的不连续 Galerkin 方法，然后是双调和方程的拉格朗日元素。我要特别向您推荐 Sue Brenner 和 Sung 在 2005 年发表的关于$C^0$双谐波问题的内部惩罚（“C0IP”）方法也在deal.II 的 step-47 教程程序中使用，它显示了仅使用通常的元素解决这些类型的问题是多么容易。（免责声明：我是 deal.II 和 step-47 的作者之一。）

现在，柯比和米切尔的论文确实表明，$C^1$元素在条件数和求解器速度方面具有优势。但至少在我看来，我认为这并没有超过在非结构化网格和可能包含悬挂节点的网格上实现它们的巨大痛苦。在某个时候，我与 Rob Kirby 就那篇论文进行了长时间的讨论，不得不承认他是我承担此类项目的英雄之一——他是我认识的唯一有勇气实施的人$C^1$过去 20 年的元素，我想我认识很大一部分实施有限元素的人 :-)

我知道的两个库，除了 Firedrake，它们使用$C^1$要素是：

• omph lib，具有 Bell 元素。

• Scikit FEM，使用 Argyris 元素。

我发现它的另一个应用是在磁流体动力学中，在以下论文中：

南卡罗来纳州花园 (2004)。应用于融合 MHD 应用的具有一阶导数连续性的三角形有限元。计算物理学杂志，200（1），133-152。

但即使是拉普拉斯方程，我也无法让它工作。