这一切都归结为找到刚度矩阵的最大或最小特征值。您可以对均匀网格进行分析，然后得出传统公式。对于非均匀网格，网格大小与特征值的关系不再明显；特别是特征值不再有解析公式，当然也不再有单一的网格尺寸。$\tau \le ch^2$$h$

换句话说，我不熟悉一种方法来确定时间步长的明确界限，从而使方案在非均匀网格的情况下保持稳定。也就是说，每个人都使用的公式是用概括 2其中是单元格的网格大小，您只需在所有网格大小中取最小值。对于实际案例，这似乎效果很好。正如我所说，我不知道是否有正式的证据证明这是有效的——我怀疑一般的 2d/3d 网格没有这样的证据，但我愿意假设该陈述仍然正确.$\tau \le ch^2$$\tau \le c \min_K h_K^2$$h_K$$K$

您的问题可能有多个答案，具体取决于上下文。

我将给出一个简单的，它完成并澄清了 Wolfang Bangerth 之前的答案，所以我没有要求赏金。

在 FEM 方法中，您可以在第一步中仅离散空间域： 使得 其中是节点未知数的时间导数。应用经典的 FEM 方法，对于线性问题，我们最终得到像 这样的 ODE 系统 现在我们对时间进行积分，忘记了原始 PDE 和底层网格。

$$\begin{equation} u^h(x,t) = \sum_i \eta_i(x) U_i(t) \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \approx \frac{\partial u^h(x,t)}{\partial t} = \sum_i \eta_i(x) \dot U_i(t) \end{equation}$$ $\dot U_i$ $$\begin{equation} A \dot U + K U = b \end{equation}$$

通过这种简单的方法，在 ODE 级别定义了关于时间增量的稳定性，因此在无条件稳定方法的情况下，我们不关心网格。（或者至少，非常糟糕的网格会导致条件不佳的矩阵，但这是另一个问题。）$K$

在显式时间积分的情况下，稳定性与涉及和的广义特征值问题相关联。和稳定性极限之间有简单的关系，对于非均匀网格，只有估计和边界。$A$$B$$h$

我在非线性连续介质力学领域有一些经验，其中要解决的 ODE 是 时刻的稳定时间增量与线性化问题 的最高固有频率 其中是切线刚度矩阵。找到一个好的（但计算速度很快）的估计量对于效率至关重要，而且绝非易事。

$$\begin{equation} M(t)\ddot U + f_i(U, \dot U, \ldots \text{state variables}) = f_e(t) \end{equation}$$ $t_0$$\omega_\text{max}$ $$\begin{equation} M(t_0) \ddot U + K_{T} U = 0, \qquad U = U_\alpha \sin(\omega_\alpha t) \end{equation}$$ $K_T$$\omega_\text{max}$

这种处理（在商业非线性连续介质力学 FEM 代码中最常见）并没有直接解决时空域中的收敛问题，因为它依赖于简单假设，即对于静止问题 (）和一个好的时间积分器解决了这个问题。$t = t_0 = \text{constant}$

当然时空收敛问题已经解决了，但是如上所述，这只是上面问题的部分答案

让我们先在空间离散化，然后在时间离散化（线法）来进行分析。首先，我们采用一些空间离散化序列逼近连续算子。为了使离散化序列成为收敛离散化，我们需要序列是一致且稳定的。由于连续统算子具有所有负特征值，这意味着每个离散算子的所有特征值都将在左半平面内。$L^i, i=\{1,2,\dotsc\}$$L:u \to u_{xx}$$L^i$$L$$L^i$

现在我们将注意力转向时间离散化

$$u_t^i = L^i u^i$$

其中的所有特征值都在左半平面内。但是 -stable方法正是由这个属性定义的。（稳定性只是无条件稳定性的更精确/更少误导性的术语。还有许多其他类型的稳定性，例如 -稳定性和非线性稳定性的形式。）$L^i$$A$$A$$L$

请注意，我们没有使用网格间距、时间步长大小的任何属性，甚至没有使用原始 PDE 的属性，只是它必须是稳定的。