分析问题：

你所期待的是积极的扩散：你想要$T_i$随着时间的流逝最终达到的值在您的域中传播$T_i(t\rightarrow \infty) = cte$

如果$\alpha$是一个负数，你会得到所谓的负扩散：你会得到完全相反的结果，即梯度会随着时间的推移变得更大。

的标志$\alpha$因此决定了您的分析解决方案的行为。

$\alpha < 0$案件 ：

理想情况下，数值解应该与解析解具有相同的行为。但是，有限差分理论假设解是平滑的：如果解的特征梯度太尖锐，那么您的数值方法将无法处理它们。

我们刚才说过，在这种情况下$\alpha < 0$，梯度随时间变大。模拟产生的误差不会像正扩散那样被抹掉$\alpha > 0$，而是会被放大。出于这个原因，如果 α<0，你肯定知道你的模拟会在某个时候崩溃。

$\alpha > 0$案件 ：

如果$\alpha > 0$，但是你并不安全。如果您的时间步长太大，您的模拟也将不稳定。稳定性条件$\Delta t < \frac{\Delta x ^2}{2 \alpha}$表示您的数值方法是否有机会稳定。请注意，这是您的数值方法稳定的必要条件，而不是充分条件。然而在实践中，它被证明是一个非常强大的工具。

此外，扩散项的网格傅里叶数可以定义为$\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2}$. 在实践中，将稳定性条件写成网格傅里叶更为方便 $\alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2} < \frac{1}{2}$

这样你就可以看到你的模拟参数$\Delta t$,$\Delta x$和$\alpha$都在左侧并且$\frac{1}{2}$是不能超过模拟有机会稳定的临界值。在实践中，价值$\alpha$由你的问题给出，你会选择$\Delta x$已经。因此，$\Delta t$是您可以使用的唯一参数，以便观察扩散的稳定性条件。

临界网格傅里叶数的值取决于您选择的空间和时间离散化。有时积分器比其他积分器具有更宽的稳定区域，因此它们将允许更大的网格傅立叶数。实际上，这意味着您可以选择更大的时间步长，同时仍然拥有稳定的数值方法。

总结一下：

• 如果$\alpha < 0$，您将有负扩散，并且您的模拟在任何情况下都将不稳定。
• 如果$\alpha > 0$，您的模拟可能是稳定的......也可能不是！
• 扩散的稳定性条件（和网格傅里叶数）帮助您选择时间步长$\Delta t$使您的数值方法稳定。

我建议您进行虚拟模拟并使用参数来看看会发生什么。无需浪费时间进行编程：电子表格软件足以满足您的特定情况。

编辑：部分重写我的答案以使其更清晰

为了稳定，您需要$\omega \leq 1$，如此处所述。如果你的扩散性$\alpha$是积极的（应该基于物理基础）， $\omega$也应该是积极的，因为$\Delta x$和$\Delta t$根据定义，是正数。

这是用于解释偏微分方程稳定性理论的典型例子之一，因此在教科书中有很多很好的解释。我最喜欢的是LeVeque的第 8 章。

给出的其他答案包含一些不正确的术语和一些不直接相关的信息。最重要的是，他们以不正确的方式使用术语CFL 条件。来自 LeVeque 的文本，p。217、CFL条件为：

只有当它的数值依赖域包含 PDE 的真实依赖域时，数值方法才能收敛，至少在极限为$\Delta t$和$\Delta x$归零。

在热方程的上下文中，这仅意味着$\Delta t \propto \Delta x^{1+\epsilon}$对于一些$\epsilon>0$. 当然，这个条件对于稳定性来说是不够的；CFL 条件只是必要的。

一个“挥手”的论点可能可以解释时间积分方案的稳定性需要一个正系数。我不知道那是什么。

通过冯诺依曼稳定性分析可以严格推导出相同的条件。冯诺依曼稳定性分析。这个链接检查了几个不同的方案。