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在时间相关的 FEM 求解器中，什么是数值阻尼？

计算科学有限元数字离散化康索尔

2021-11-25 15:22:59

Comsol Multiphysics（一个流行的 FEM 包）包括两个时间步长算法（IDA aka BDF和Generalized-alpha），在他们的文档中描述如下（这里在Fair Use下引用；强调我的）：

• IDA 是在劳伦斯利弗莫尔国家实验室创建的（参考文献 4），它是 DAE 求解器 DASPK 的现代化实现，它使用变阶变步长反向微分公式 (BDF)。

• 广义α 是一种隐含的二阶精确方法，具有参数α 或ρ∞ (0 ≤ ρ∞ ≤ 1) 来控制高频阻尼。当 ρ∞ = 1 时，该方法没有数值阻尼。对于线性问题，这对应于中点规则。ρ∞ = 0 给出最大数值阻尼；对于线性问题，然后一步消除最高频率。该方法最初是针对结构力学中的二阶方程开发的，后来扩展到一阶系统（参考文献 7）。

[...]

BDF 方法已经使用了很长时间，并且以其稳定性而闻名。但是，它们可能具有严重的阻尼效应，尤其是低阶方法。后向欧拉会严重抑制任何高频。即使您期待一个具有陡峭梯度的解，由于反向欧拉中的阻尼，您可能会得到一个非常平滑的解。

[...]

与 BDF（最大二阶）相比，广义-α 引起的阻尼要小得多，因此更准确。出于同样的原因，它也不太稳定。

[...]

参考：

AC Hindmarsh、PN Brown、KE Grant、SL Lee、R. Serban、DE Shumaker 和 CS Woodward，“SUNDIALS：非线性和微分/代数方程求解器套件”，ACM T. Math。软件，第一卷。第 31 页 363，2005 年。

[...]

KE Jansen、CH Whiting、GM Hulbert，“一种将滤波后的 Navier-Stokes 方程与稳定有限元方法相结合的广义 α 方法”，Comput。方法应用程序。机甲。工程，卷。190，第 305-319 页，2000 年。

这很有意义，但我想了解这种数值阻尼现象的本质。是否有一个最小的例子（如果可能，最好是一维）清楚地显示数值阻尼，并允许看到它来自哪里？

1个回答

在标量示例中为隐式欧拉（也称为反向欧拉）证明这一点非常简单。考虑初值问题

\dot{y} (t) = i α y (t), y (0) = 1

$\dot{y}(t) = i \alpha y(t), \ y(0) = 1$

有溶液

y (t) = \exp (i α t) = \cos (α t) + i \sin (α t)

$y(t) = \exp(i \alpha t) = \cos(\alpha t) + i \sin(\alpha t)$

解决方案是振幅为 1 的谐波振荡，并且该振幅不会随时间变化。

现在将隐式欧拉应用于 ODE，得到

y_{n + 1} = y_{n} + h i α y_{n + 1}

$y_{n+1} = y_{n} + h i \alpha y_{n+1}$

和 $h$ 成为您的时间步长，或者在重新排列之后，

y_{n + 1} = \frac{y_{n}}{1 - h i α} = \frac{1}{α^{2} h^{2} + 1} (1 + i α h) y_{n}

$y_{n+1} = \frac{y_n}{1 - h i \alpha} = \frac{1}{\alpha^2 h^2+1} \left(1 + i \alpha h \right) y_n$

因为我假设 $y(0) = 1$ , 这意味着

y_{n + 1} = {(\frac{1}{α^{2} h^{2} + 1})}^{n} {(1 + i α h)}^{n}

$y_{n+1} = \left( \frac{1}{\alpha^2 h^2 + 1} \right)^n \left( 1 + i \alpha h \right)^n$

虽然第一个术语在极限内 $h \to 0$ ，我们有

\frac{1}{α^{2} h^{2} + 1} < 1

$\frac{1}{\alpha^2 h^2 + 1} < 1$

对于任何有限值 $h$ . 当然，任何实际的数值解都将涉及一个有限的 $h$ . 因此，我们得到

{(\frac{1}{α^{2} h^{2} + 1})}^{n} \to 0

$\left( \frac{1}{\alpha^2 h^2 + 1} \right)^n \to 0$

作为 $n \to \infty$ ，这意味着与应该发生的情况相反，数值解的幅度将随着时间的推移而减小。这种效应被称为数值阻尼，因为幅度的减小纯粹是数值方法的产物。

隐式欧拉中的数值阻尼非常强。如果你实现上面的标量问题，你会看到除非你使用非常小的时间步 $h$ ，经过几次振荡后，您的数值解将几乎衰减为零。像 BDF-2 这样的方法也显示出数值阻尼，但不如隐式欧拉显着。我认为这就是 Comsol 在您发布的文本中推荐它们的原因。

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