简短的回答：是的（精确算术）。

您必须使用在$x \pm \frac{1}{2}\delta x$， 像这样：

$$u_x = \frac{u(x + \frac{1}{2}\delta x) - u(x - \frac{1}{2}\delta x)}{\delta x} + {\cal O}(\delta x^2)$$

然后，递归地应用该公式，您将得到“标准”二阶有限差分模板：

$$\begin{eqnarray} u^{\rm FD}_{xx} &=& \frac{u_x(x + \frac{1}{2}\delta x) - u_x(x - \frac{1}{2}\delta x)}{\delta x} \\ &=& ... \\ &=& \frac{u(x + \delta x) - 2 u(x) + u(x - \delta x)}{(\delta x)^2} \\ &=& u_{xx} + \frac{(\delta x)^2}{12}u_{xxxx} + \text{higher order terms.} \end{eqnarray}$$

这种递归“技巧”也适用于其他有限差分公式。

但是，我（对于一个人）不会递归地实施这样的方案。通过递归方案评估二阶导数的计算成本（定义为总 FLOP 计数）高于“经典”公式，但对准确性没有额外好处。

如果你使用$u(x+\delta x)$和$u(x - \delta x)$，这等效于标准二阶导数近似，但具有两倍的网格宽度，因此前导误差项将是$\frac{(2\delta x)^2}{12}u_{xxxx}$, 是上面的 4 倍。