首先，我可能会建议通过寻找基态来考虑稳定问题$\phi = \Phi(x)e^{i\omega t}$. 通过这种方式，您可以将方程简化为非线性亥姆霍兹型问题：椭圆算子$\omega\phi + \phi_{xx}$+ 非线性部分$\lambda\phi^3$.

现在，我看不出你在理论上可以用非线性项做什么。由于 L. Schwartz (50s) 的作品，我们知道分布的乘积不能一致地定义......

乔恩，你最初的问题是什么？你想干什么？

在其中创建一些网格$(x,t)$-空间，取出包含原点的元素，并对结果边界施加非零边界条件，您认为该条件适用于奇点附近的解。然后在没有强制项的情况下解决问题，并产生空洞。这将使您了解解决方案的外观。

质量将与您对边界的猜测一样好或坏。也许你在讨论中提到的理论发表的工作有助于告诉你这个猜测应该是什么。

或者，您可以使用时空方程的傅里叶变换，并尝试通过频率-动量空间中的搭配来解决它。