计算科学 - 计算矩阵奇异值之和的最快方法是什么？ - 吾爱随笔录

计算矩阵奇异值之和的最快方法是什么？

计算科学 svd

2021-12-09 16:50:25

有没有比直接计算 SVD(A)（或对角化 A^*A）更快的方法来计算矩阵 A 的核范数（迹范数，奇异值之和）？

我对 A 是正方形的情况特别感兴趣。假设 A 是真实的也可以。我在考虑大矩阵的极限。

1个回答

根据您的情况，也许您可以利用 Recht、Fazel 和 Parrilo 的这篇论文的结果，“通过核范数最小化保证线性矩阵方程的最小秩解”，2007 年。

如果矩阵的秩上限为，则： $X$ $r$

{‖ X ‖}_{*} = {i n f}_{L, R} [\frac{1}{2} {‖ L ‖}_{F}^{2} + \frac{1}{2} {‖ R ‖}_{F}^{2} : X = L R^{T}]

$\left \Vert X \right\Vert_* = \mathrm{inf}_{L,R} \left[\frac{1}{2}\left \Vert L \right\Vert_F^2 + \frac{1}{2}\left \Vert R \right\Vert_F^2 : X = LR^{T}\right ]$

Feng、Xu 和 Yan使用该结果推导出他们的在线鲁棒 PCA 算法，以消除对奇异值分解的任何需求。

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