我不得不不同意 Paul 的观点：泛函分析是一个美丽而优雅的主题，具有广泛的应用范围（但de gustibus ... :)）。

但无论如何，您不需要了解很多（纯）泛函分析来理解有限元方法：范数向量空间、（强）收敛性、完整性、内积及其诱导范数、正交性、对偶空间和伴随运营商。除了最后两个，如果您已经了解一些多元分析和线性代数（以一些技术为模），那么这些主题应该已经很熟悉了。它们都在Kreyszig 的Introductory Functional Analysis（前四章）中得到了处理，这本书已经被推荐了（我觉得读起来非常愉快）。

但是除了抽象向量空间的行为之外，您还需要了解 Lebesgue 和 Sobolev 空间的行为，以及偏微分方程的（弱解）理论。（根据您之前的问题，我想说这正是您遇到的问题。）这些主题（有些人将其归类为（应用）功能分析）通常在我（作为数学家）将调用基本和标准有限元书籍：

• Braess：有限元，剑桥大学出版社，2007
• 布伦纳，斯科特：有限元的数学理论，施普林格，2008
• Ern, Guermond：有限元的理论与实践，Springer，2004

这些大致按照数学抽象的顺序列出，应该足以与您正在与之交谈的科学家在同一页上。如果您想了解更多详细信息，则需要查看有关偏微分方程理论的书籍；标准参考将是（再次按抽象顺序）

• 埃文斯：偏微分方程，AMS，2010
• Renardy，Rogers：偏微分方程简介，Springer，2004
• Wloka：偏微分方程，剑桥大学出版社，1987

事实上，Evans 的书的第 5 章和第 6 章以及附录 D 和 E 应该涵盖了有限元方法的（数学）理论所需的大部分理论背景。

对于更严谨的数学，我喜欢Atkinson 和 Han的“理论数值分析：功能分析框架”中的一些部分。

假设您已经具备偏微分方程和基本数值分析的背景，泛函分析有助于理解 FEM 理论。从个人经验来看，这是一个乏味的话题，并且很难真正自学地掌握。

话虽如此，我从诸如此类的书籍中获得了一些见解

理解和实现有限元方法

介绍性功能分析

工程师应用变分法

工程中的应用泛函分析和变分方法

每本书都以某种方式、形式或形式帮助我理解有限元方法背后的数学。但是，它们都没有真正为我提供“完美”或“完整”的理解。这绝不是一份详尽的“良好参考”清单，我也不认为有任何关于该主题的“规范书籍”。但至少，这些书对我有帮助，我希望它们也能对你有所帮助。