为了$-\epsilon \Delta u + \mathbf{v}\cdot\nabla u = f$， 在哪里$\epsilon \ll |\mathbf{v}|$. 你可以参考这篇论文：

• 稳定对流主导问题的自适应各向异性网格划分，第 6 节和第 7 节。

• 奇异摄动系统的计算方法，示例 5.1。已知的解决方案，边界层。这也包含在 NIST 基准列表中。

对于所有的扩散-对流-反应方程 For$-\nabla\cdot(A\nabla u) + \mathbf{b}\cdot\nabla u + cu= f$, 你可以参考

• 通过加权内部惩罚方法近似的对流扩散方程的后验能量范数误差估计，第 4.2 节，右侧$f$使用真解计算。

当二阶项完全消失时 $\mathbf{b}\cdot\nabla u + \mu u= f$（意味着解决方案越来越不顺利，问题变得越来越难），我知道有两个例子：

• http://hpfem.org/hermes-doc/hermes-examples/html/src/hermes2d/benchmarks-general/stabilized-advection-reaction.html

• A Postiori Error Estimation for Internal Penalty Finite Element Approximations of the Advection-Reaction Equation，第 5 节。由于这是在付费墙后面，我在这里列出：让$\Omega = \{(x,y)\in (0,1)\times (0,1)\}$.$\Omega^-$是正方形的左边缘。真正的解决方案$u$满足

  $$\left\{ \begin{aligned} \mu u + \mathbf{b}\cdot \nabla u &= f, \\ u|_{\partial \Omega^-} &= g, \end{aligned} \right.$$ \mathbf{b} = \ binom 和选择使得精确解为： $$\mathbf{b} = \binom{y+1}{-x}\frac{1}{\sqrt{x^2 + (y+1)^2}}, \quad \mu= 0.1$$ $g(x,y)$ $$u(x,y) = e^{\mu \sqrt{x^2 + (y+1)^2} \arcsin\left(\frac{y+1}{\sqrt{x^2 + (y+1)^2}}\right)} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2 + (y+1)^2} - 1.5}{\epsilon}\right).$$

如果您对稳态方程的边界层行为感兴趣，则 Erikkson-Johnson 模型问题非常有用。这是迄今为止我遇到的均匀对流扩散方程的唯一具有边界层的精确解。

如果您采用对流向量，则对流扩散减少为$\beta = (1,0)^T$

$u_{,x} - \epsilon \Delta u = 0$

在整个边界上具有边界条件

$\left.u\right|_{\partial \Omega} = \left.u_{\rm exact} \right|_{\partial \Omega}.$

可以通过分离变量找到解决方案（第 19 页也给出了解决方案） 。

对于高度以对流为主的区域，对流扩散的人造解通常会导致强迫项本身具有强梯度，因此收敛率或精确误差的评估往往更多地取决于强迫的数值积分（或误差！ ) 而不是方法的行为。$u-u_h$

作为零阶强制项添加到 RHS 来将 Erikkson-Johnson 解推广到对流-扩散-反应方程（对于具有较小的零阶项，积分误差的影响较小）扩散，因为边界层周围的积分误差是误差）。 $u_{\rm exact}$$O(\epsilon)$