计算科学 - 逆迭代找到秩亏矩阵的零奇异向量 - 吾爱随笔录

我有一个 $n \times n$ 非对称矩阵 $A$ 这是由不适定泊松问题的离散化产生的，因此在一维零空间的情况下是秩亏的。我只想计算最小的奇异三元组

(u_{n}, σ_{n}, v_{n})

$\begin{equation*} (u_n,\sigma_n,v_n) \end{equation*}$

在哪里

u_{n}^{T} A v_{n} = σ_{n} = 0.

$\begin{equation*} u_n^T A v_n = \sigma_n = 0. \end{equation*}$

通过一些实验，我发现将逆迭代应用于移位（因此是全秩）矩阵 $A^T - \sigma I$ 非常快速地产生左奇异向量，通常在一两次迭代中。在 Matlab 代码中：

x(:,1) = rand(n,1); 
for k = 1:MAXIT
    x(:,k+1) = ( A' - sigma*eye(n) )\x(:,k); 
    x(:,k+1) = x(:,k+1)/norm(x(:,k+1)); 
end

通常，此迭代收敛到足够小的容差（ $|| x_k^T A|| = 10^{-9}$ 左右）在一两次迭代中。

我认为这收敛得如此之快，因为最大和第二大奇异值 $(A^T - \sigma I)^{-1}$ 被隔开 $\sigma^{-1}$ 可以做得很大，但我无法证明这个逆迭代应该收敛。我确信有一些巧妙的方法可以使用 SVD 来显示这种收敛，就像在特征向量的等效逆迭代的标准证明中一样，但我想不出它。

任何关于它为什么有效以及我如何证明它有效的帮助、想法或想法都会有所帮助。