我正在研究泊松问题的非对称离散化的准确性和稳定性属性。该问题源于分数步 Navier-Stokes 求解器的投影步的鬼流体离散化。在这种方法中，远离几何表面的网格点使用标准的 5 点模板离散化。对于与几何图形相邻的点，使用保留边界条件的外推法来填充几何图形外的一组鬼点。然后使用这些点填充几何表面内部的点的 5 点模具。外推到“鬼点”的行为为矩阵引入了非对称特征，我非常想弄清楚这样做会破坏矩阵属性的程度。
Mittal R，Dong H，Bozkurttas M，Najjar FM，Vargas A，von Loebecke A.，一种用于具有复杂边界的不可压缩流的通用锐接口浸入式边界方法。J计算机物理学。2008;227(10):4825-4852。
有一个研究领域可以通过从您的相同假设开始的关键字“模拟离散化”和“兼容空间离散化”来识别：由偏微分方程离散化产生的代数方程应该模仿连续统算子的性质。
本书中出现的 Bochev 和 Hyman的《微分算子模拟离散化原理》是一个很好的起点。
这是一个有趣的框架，但我不会过多关注“矩阵属性”本身： 最后重要的是获得一个“好的解决方案”（稳健、准确、不太昂贵，......）并且没有一个好的解决方案矩阵在手。
我建议你开始问更狭隘的问题：例如，我怎样才能有效地处理不对称项？我可以使用对称求解器以速度换取精度吗？
附录
Jed Brown 正确地指出，有时缺乏对称性只是显而易见的。
让我用一个非常琐碎的例子来解释这一点。假设+ bc（连续的，有自伴随）变成（离散的，与) 其中 bc 表示为（有关具体示例，请参见此答案，对于无耻的自引用感到抱歉）。现在通过替换我们有在哪里不是对称的，但可以通过预乘来恢复对称性获得. 如果矩阵是正方形的（注意通常它是一个单位矩阵加上一些低秩校正），问题完全等同于. 如果预乘是不可行的，有时可以通过扩充系统来获得对称问题，即通过引入额外的未知变量。
[免责声明：以下内容只是一个猜想，因为我没有时间详细解决您的问题]
在手头的情况下，通过在问题域之外添加鬼点来引入 bc：鬼点处的未知场是通过从域点外推获得的，同时考虑到边界几何和 bc（算法实际上是相反的：从鬼点 导出问题域中的一个图像点，其值是通过对周围问题点的插值获得的。但是对于本次讨论，方法是等效的。）“不对称”的来源很清楚，情况略有不同从我上面的简单示例中，因此没有简单的方法可以修复对称性。
我的建议是从这两个方向进行调查：
这是引入边界条件的明智方式吗？如果答案是肯定的，那么在配方层面缺乏对称性是可以接受的。
在计算级别上是否可以接受缺乏对称性？即你能解决不对称问题吗？如果不是，请尝试以不引入进一步近似的方式修改系统以恢复对称性（如上面的简单示例），或者通过引入一些额外的近似来以速度换取准确性。