计算科学 - 使用广义多项式混沌展开 (GPCE) 求解 PDE 的随机 Galerkin 投影方法 - 吾爱随笔录

我想知道是否有任何方法可以以我想要的方式定义测试和试验功能，而不是使用默认功能。因此，如果我想定义多项式、基和系数，我该如何在 Fenics 中做到这一点？这是一般的概念：

我正在尝试解决随机偏微分方程，就像

Π (x, t, w; u) = f (x, t; w)

$\Pi(x,t,w;u)=f(x,t;w)$

x \in ℜ^{d} t \in [0, T] w \in Ω

$x \in \Re^d \qquad t \in [0,T] \qquad w \in Ω$ 其中，解是，是源项。我们可以使用有限数量的独立随机变量来离散随机空间。这允许我们将控制方程重写为强形式的维微分方程：因此，被视为随机过程的解可以由广义多项式展开为：其中是 GPCE 项的数量。

U := U (x, t; w)

$U:=U(x,t;w)$

f (x, t; w)

$f(x,t;w)$

ξ (w) = {ξ (w_{1}), \dots, ξ (w_{n})}

$\xi(w)=\{\xi(w_1),\ldots,\xi(w_n)\}$

Π (x, t, ξ; u) = f (x, t; w) (ξ, x) \in Γ \times D

$\Pi(x,t,\xi;u)=f(x,t;w)\qquad (\xi,x)\in \Gamma \times D$

u (x, t; w) = \sum_{i = 0}^{P} u_{i} (x, t) ϕ_{i} (ξ)

$u(x,t;w)=\sum_{i=0}^P u_i(x,t) \phi_i (\xi)$

P

$P$

然后我们将代入弱形式。选择与广义多项式相同的测试函数，使残差与子空间正交，从而最小化误差，我们得到： $U$

⟨ Π (x, t, ξ; \sum_{i = 0}^{P} u_{i} (x, t) ϕ_{i} (ξ)), ϕ_{k} (ξ) ⟩ = ⟨ f (x, t; ξ), ϕ_{k} (ξ) ⟩

$\left\langle \Pi\left(x,t,\xi;\sum_{i=0}^P u_i(x,t) \phi_i (\xi)\right),\phi_k (\xi)\right\rangle = \left\langle f(x,t;\xi),\phi_k (\xi) \right\rangle$

K = 0, 1, . . P

$K=0,1,.. P$

产生一组耦合确定性方程。可以采用例如经典的有限元方法来寻找确定性系数。

为了使问题更清楚，有与 2D Poisson Equation 相关的明确定义的问题：here on page 7。

由于我们只有一个随机变量，随机维数为 1。对于我的 3 阶多项式问题的多项式混沌扩展值将是矩阵的 PCE=3*3。

问题

我需要V = VectorFunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)在这个问题中修改 so，以便 V 成为 V 和 PCE 的 Kronecker 张量积，这将导致 10*3 ,10*3, 10*3 并且基于该矩阵我可以修改我的方程为计算解决方案的统计量。有什么方法可以计算 V 和另一个矩阵的 Kronecker 张量积并用我的 V 替换它？

更具体地说，我试图用这种方法解决这个具有不确定位置负载的方程。

这是我的确定性代码Fenics：稳态动态线性弹性的结果与实际值不匹配如何通过修改 Fenics 中的测试和试验功能使该确定性代码随机化。