答案取决于速度场的物理边界条件。由于您使用的是不可压缩的 Navier-Stokes 方程，因此与 Euler 方程相比，条件$\mathbf{u} \cdot \mathbf{n} = 0$在圆柱体表面未确定问题。相反，通过圆柱体的粘性流动的典型边界条件是$\mathbf{u} = 0$在边界处；这是防滑条件。

当然，在物理上，压力没有边界条件，但投影方法的性质要求我们提供数值边界条件。假设一个无滑动圆柱边界，压力更新的适当边界条件$\phi$那么是

$$\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}} = 0.$$ 换句话说，压力更新$\phi$在圆柱边界上应该有一个 Neumann 边界条件。

要了解为什么会出现这种情况，请考虑以下内容。在投影方法中，给定一个值$\mathbf{u}^n$对于时间步的速度场$n$，我们通常使用滞后压力项求解 Navier-Stokes 方程以获得$\mathbf{u}^*$. 然后我们向前一步，将生成的不可压缩部分投影出来，

$$\mathbf{u}^{n+1} = \mathcal{P}\mathbf{u}^*.$$ 使用亥姆霍兹分解来写$\mathbf{u}^* = \nabla \phi + \mathbf{v}$， 在哪里$\mathbf{v}$是无分歧的，我们可以将更新重写为 $$\mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^* - \Delta t \nabla \phi^{n+1}.$$ 取双方的分歧，再次诉诸亥姆霍兹分解，我们得到 $$\Delta t \Delta \phi^{n+1} = \nabla \cdot \mathbf{u}^*,$$ 这是我们求解以确定压力校正的方程。

在无滑移边界，我们可以取速度更新两边与边界法向量的点积$\mathbf{n}$获得

$$\mathbf{u}^{n+1}\cdot\mathbf{n} = \mathbf{u}^*\cdot\mathbf{n} - \Delta t \mathbf{n}\cdot\nabla \phi.$$ 但是由于$\mathbf{u}^{n+1}$必然服从无滑移边界条件，我们有$\mathbf{u}^{n+1} = 0$在边界处。此外，由于$\mathbf{u}^*$通过强制无滑移边界条件获得，我们有$\mathbf{u}^* = 0$在边界处也是如此。这给我们留下了限制，在边界处， $$\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}} = \Delta t \mathbf{n}\cdot\nabla \phi = 0.$$

有关更多详细信息，我建议查看 [1]。本文讨论了有限差分公式中的投影方法，但压力更新是在有限元框架内处理的，分析应该适用于您的情况。

[1] A. Almgren、JB Bell 和 W. Szymczak，基于近似投影的不可压缩 Navier-Stokes 方程的数值方法，SIAM J. Sci。计算。17 (1996)，第 258-369 页。

我迟到了这个讨论，但实际上不可压缩的 Navier-Stokes 方程中的压力有一个适定的边界条件，它（几乎）是从方程本身推导出来的。用于无滑移条件下的流体运动 $\mathbf{u}=0$在边界上和身体力$\mathbf{f}$, 压力的边界条件为

$$\frac{\partial p}{\partial \mathbf{n}} = -\nu \mathbf{n}\cdot( \nu \nabla\times\nabla\times \mathbf{u}) +\mathbf{n}\cdot\mathbf{f}.$$ 这种边界条件出现在 1990 年代的谱元方法工作中，并且最近已被证明是合适的。我的意思是（i）它必然适用于不可压缩 Navier-Stokes 方程的任何正则解，并且（ii）如果替换 无散条件
，Navier-Stokes 方程仍然是 适定的$\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ 由具有上述边界条件的压力的泊松方程。

边界条件是必要的事实来自向量恒等式

$$-\nabla\times\nabla\times \mathbf{u} = \Delta\mathbf{u}-\nabla\nabla\cdot\mathbf{u}.$$ 当然$\nabla\cdot\mathbf{u}=0$对于精确的 Navier-Stokes 解决方案，但这并不意味着$\nabla\cdot\mathbf{u}$在适定性理论中或在投影方法的中间步骤中可以忽略。

curl-curl 项出现的一个更深层次的原因是它对压力梯度的贡献正是由于 Laplacian 未能与 Helmholtz 分解交换。

有关这些点的详细讨论，请参阅下面的 [1]，如何在有限元离散化中实现压力边界条件，以及基于具有此边界条件的压力-泊松方程的三阶时间离散投影方法的推导.

[1] J.-G. Liu, J. Liu, RL Pego，不稳定不可压缩粘性流的稳定和准确压力近似，J. Comp。物理。229 (2010) 3428-3453。

投影方法族的类压力变量实际上是一个数学变量，它与物理压力的关系完全取决于您选择的投影方法以及您为临时动量方程选择的时间积分方案。这意味着“压力”边界条件不应基于物理参数。相反，它必须与您的数字一致，特别是您如何处理中间步骤的速度边界条件。

几个很好的参考：

David Brown，Ricardo Cortez，Michael Minion，不可压缩 Navier-Stokes 方程的精确投影方法，JCP，168, 464–499 (2001)。

J.-L。GUERMOND, P. MINEV, J. SHEN，不可压缩流的投影方法概述，应用力学与工程中的计算机方法，195 (2006) 6011--6045。