非简并扩散将防止真实解决方案中的不连续性，但这些可能很难解决。我假设您的问题是关于如何评估形式为$f(u,\nabla u,p) = \kappa(u,\nabla u,p)\nabla u$的扩散通量，其中$\kappa$是$d\times d$ SPD张量和$p$代表一些以细胞为中心且不连续的空间分布参数。有几种方法。

两点通量

取两个细胞的质心$c_0$和$c_1$并计算$\nabla u\cdot(c_1 - c_0) = u(c_1) - u(c_0)$。如果网格是正交的（在连接单元质心和法线与对齐法线的线段上的面正交点）并且系数是恒定且各向同性的，则这是一致的二阶精确通量（即，在质心和面中心处超收敛）。不幸的是，它失去了准确性，并且在一般网格和可变系数上存在稳定性问题。经常使用两点通量，因为它们简单而紧凑，但它是一种脆弱的方法，因为经常违反网格规律性和常数系数假设。

梯度重建

基本原理是重建每个单元格上的梯度，通常使用加权最小二乘程序，并使用在正交点（面中心）评估的梯度来定义通量。此过程仅适用于非线性通量。您可以在文献中找到许多变体，但您可能希望查看这些注释以了解背景和最常用的变体。这种方法的缺点是模板比严格要求的要大，并且生成的线性系统通常不是对称的或 M 矩阵（因此允许振荡）。

重新解释为混合有限元方法

混合有限元方法显式离散通量函数并使用固有不连续（可能是张量值）系数和解变量。混合有限元法的缺点是有更多的自由度，由此产生的方程组是一个鞍点问题（这使得它更难求解）。然而，在特殊选择正交之后，可以消除“通量”自由度，从而为单元中心变量生成（通常是对称的）正定系统。Wheeler and Yotov (2006)详细介绍了这方面的一个例子它使用底层 BDM-1 空间（边缘上的线性不连续通量函数，单元上的恒压函数）和单元角处的单元正交，这使得质量矩阵块对角线（每个角一个块）。消除助焊剂后，得到的系统是 SPD，并且具有最小的模板（仅连接共享一个角的单元）。对于张量系数和一般网格，它是二阶超收敛的，尽管对于不规则网格，通量仅是一阶精确的。

请注意，除了有限体积和混合有限元之间的关系之外，混合有限元方法和模拟有限差分方法之间存在对偶性。在我所知道的所有情况下，都可以选择基函数和求积以使方法一致，尽管对于某些类型的分析或在给定软件包中的实现，其中一种可能更自然。