计算科学 - 数值求解两个耦合非线性二阶微分方程 - 吾爱随笔录

数值求解两个耦合非线性二阶微分方程

计算科学 matlab 数学

2021-11-29 00:09:54

我在拉格朗日力学中遇到了以下微分方程组。您能否建议一种数值方法，以及有关如何解决它的相关链接和参考，以及 C 中的实现（如果可能）另外，Matlab 或 Mathematica 上是否有更短的实现？

\begin{aligned} m x {\dot{y}}^{2} + m g \cos (y) - M g - (m + M) \ddot{x} & = 0 \\ g \sin (y) + 2 \dot{x} \dot{y} + x \ddot{y} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} mx \dot y^2 + mg\cos(y) - Mg - (m+M)\,\ddot x &= 0 \\ g\sin(y) + 2\dot x\dot y + x \,\ddot y &= 0 \end{align*}$

其中 $\dot x$ 或 $\dot y$ 是时间导数，双点表示时间的二阶导数。

3个回答

为什么要手动实现？Matlab、Maple 和 Mathematica 都内置了数值求解微分方程的工具，它们使用的方法比您在有限时间内自己实现的方法要好得多。在 Matlab 中，您想查看ode45。在 Maple 中它被称为dsolve（带有 'numeric' 选项集），在 Mathematica 中它是NDSolve。

您可以使用Runge-Kutta 方法对这个系统进行数值求解，首先通过执行以下替换技巧将您的二阶方程重写为一阶系统：

{\begin{aligned} x_{1}^{'} & = x_{2} \\ y_{1}^{'} & = y_{2} \\ x_{2}^{'} & = x_{1} y_{2} + g \cos y_{1} - (M + m) g / m \\ y_{2}^{'} & = - g (\sin y_{1}) / x_{1} - 2 x_{2} y_{2} / x_{1} \end{aligned}

$\left\{ \begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ y_1' & = y_2 \\ x_2' &= x_1 y_2 + g \cos y_1 -(M+m)g/m \\ y_2' &= -g(\sin y_1) /x_1 - 2x_2 y_2/x_1 \end{aligned} \right.$

现在您可以使用MATLAB'sode45或ode23来解决它，如果您想在 C 上实现该方法，我相信互联网上有很多 pkgs 可用，例如this。

诸如 (4,5) 之类的龙格-库塔方法也可以在GNU 科学库（用 C 语言编写）中找到。它们还包括自适应时间步长。

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