是的，可以将高斯正交（一维）扩展到多维。这通常被称为容积。Ronald Cools 和合作者在这方面做了很多工作（参见他的古巴曲式百科全书）。

一篇适用于您的应用程序（在单位圆盘上集成）的好论文是Asurvey of known and new cubature formulas for the unit disk。它解释了如何生成容积公式，并提供了指向不同程度的节点/权重集的链接。特别是其中提到的单位圆盘上的参考对称正交公式对您有用。

Pavel Holoborodko的在线文章也是很好的入门读物。他解释了两种方法：直接推导和乘积规则（如 Reid Atcheson 所述）。

不幸的是，1D 推理不会直接进入 2D 及以上。根据积分的域，您将在节点选择上有相当大的自由度 - 但当然可以像往常一样从多项式生成正交权重。最接近经典高斯类型规则的方法是将域坐标变换为一维区间的乘积，然后通过张量积和坐标变换构造规则，以获得感兴趣域的规则。这对于多项式通常不是精确的，但如果坐标变换的雅可比行列表现良好，则仍应保持良好的收敛速度。

简而言之：在 1D 中，您可以很好地对齐正交规则的许多目标，因为它们可以通过单个规则同时实现。

1. 规则的半解析表达式（例如正交多项式的零点）
2. 规则的稳定性（正权重）
3. 对称属性
4. 快速收敛（例如，在特定阶以下的多项式上精确）

事实证明，在一维空间中，所有这四个条件都可以同时满足高斯正交规则。在 2D 及以上的情况下，通常必须在上述特征之间进行交易。例如，通常最快的收敛规则（那些满足标准 (4) 的规则）计算起来可能非常昂贵，并且经常在 (2) 和 (3) 中失败。满足 (1) 的规则（例如我使用坐标变换的示例）通常会失败 (2)、(3) 和 (4)。