计算科学 - 用多项式逼近阶跃函数 - 吾爱随笔录

用多项式逼近阶跃函数

计算科学数值分析插值

2021-12-10 00:58:10

Weierstrass 逼近定理表示任何连续函数 $f(x): [0,1] \to \mathbb{R}$ 可以用多项式统一逼近。鉴于任何 $\epsilon$ ，我们可以找 $p(x) = x^n + \dots$ 这样：

| f (x) - p (x) | < ϵ

$|f(x) - p(x)| < \epsilon$

总是正确的。在实践中我们如何找到 $p$ ? 比方说 $f(x)$ 是阶跃函数：

f (x) = {\begin{array}{cc} 0 & x \leq 0 \\ 1 & x > 0 \end{array}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0 & x \leq 0 \\ 1 & x > 0\end{array} \right.$

我们如何找到多项式 $\deg p = 100$ 最小化公差 $\epsilon$ ?

ϵ = min_{\deg p = 10^{2}} [max_{x \in [0, 1]} | f (x) - p (x) |]

$\epsilon = \min_{\deg p = 10^2}\left[\max_{x \in [0,1]} | f(x) - p(x) | \right]$

希望我已经定义了一个易于处理的问题......例如，拉格朗日插值是否必须最小化？ $\epsilon$

1个回答

这个问题通常被称为Minimax Problem。不幸的是，阶跃函数不是连续的，因此 Weierstrass 逼近定理不适用。任何连续近似都会有，因为有一个大小为 1 的跳跃，所以你在这一点上能做的最好的事情就是分裂差异。事实上，可以解决这个问题，尽管有许多高阶多项式更适合其他范数，也适合定义极小极大问题的无穷范数。 $\epsilon \ge 0.5$ $y = 1/2$

对于连续函数，切比雪夫多项式是极小极大解的良好近似。还有一种常用的迭代算法，称为Remez 算法，它近似地解决了极小极大问题。Remez 算法利用了等振荡定理，该定理（解释）说，次数小于或等于的多项式具有振荡，这些振荡同样高于或低于函数（即）期望的区间是解决所有次数小于或等于 $n$ $n+2$ $f(x)\pm C$ $n$ . Remez 算法迭代地调整多项式的系数，以（近似地）实现等振荡近似函数，该函数是极小极大问题的解决方案。

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