有限元法在求解平流-扩散方程的稳定性方面与 FD 有相似的问题，即对 Peclet 数有相同的限制。一种补救方法，也类似于 FD 中使用的方法，是使用包含“逆风”的配方。

这里有一组很好的讲义，讨论了如何将逆风添加到 FE 公式中：

http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/burgers/fem_notes.pdf

账单

这取决于您所说的数值稳定性标准 - 在 CFL 条件下，对特征值有明确的要求，以确保时间步长方法不会发散。有了 Peclet 数，就不太清楚了——你知道你不想要大的振荡，但除此之外很难量化它，尤其是在 2 维和 3 维以及 FD 和 FEM 的高阶方法中。您可以使用正确的 Peclet 数或一维稳定方案获得精确的节点稳定性，但通常很难扩展这些想法。

我是从 FEM 的角度来解决这个问题的，所以请记住，可能还有其他方法可以处理 FD/FV 的这种不稳定性。典型的方法包括

1. 人工扩散 - 你添加一个虚假的扩散项来制作你的 Peclet 数$\approx 1$. 但是这些很可疑-它们会改变您解决的问题，并且可以为您提供一个遥不可及的答案（对于非零强迫，这通常会变得更糟）。此功能的高级版本仅在高梯度区域添加扩散（请参阅冲击捕获人工扩散）。
2. 稳定术语——这类似于比尔的逆风，有点像人工扩散。但是，与人工扩散不同，它还修改了考虑强制项的方式，因此避免了上述一些问题。对于 FEM，这可以解释为更改您的加权函数。对流-扩散问题的难点在于你不想过于扩散；您的解决方案可能看起来不错，但可能完全错误。
3. 通量限制/TVD/MUSCL 方案——我对这些方案知之甚少，但它们似乎很受 FD 和 FV 人群的欢迎。据我所知，您可以动态更改模板或数值通量以实现某些属性（局部最大原则、变化减少解决方案等）。

有几个很好的起点——这篇关于 FEM 的先验和后验估计的教程论文详细介绍了 Peclet 数$O(1)$FEM 中良好的先验估计是必需的，并且这些想法也应该延续到 FD。

另一篇标题有趣的好论文是不要抑制摆动！他们正在通过 Gresho 告诉你一些事情。它警告了太多逆风的危险，而只是寻求“好看的解决方案”。

至于这 3 种方法的论文，我不知道有什么特别具有里程碑意义的论文，只能推荐谷歌搜索。

（顺便说一句，如果这看起来有点令人困惑或随意，IMO，该领域有点随意和令人困惑 - 对流扩散问题的数值方法，尽管看起来很简单，但似乎仍然存在许多未解决的问题。）