计算科学 - 具有非齐次狄利克雷 BC 的 FEM 中的 Lax-Milgram 引理 - 吾爱随笔录

如果我有不同的测试和试验空间（如果至少部分边界是非齐次狄利克雷，我认为这是自然的事情），如何证明 Lax-Milgram 引理的先决条件成立？

举一个简单的例子（在我的实际情况下，我也有一个非齐次的 Neumann 部分，但这没有问题），假设我有泊松方程，

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f & u & \in Ω \\ u & = u_{D} & u & \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2 u &= f &u&\in\Omega \\ u &= u_D &u&\in\partial\Omega \end{align}$

并将弱形式写为：find $u\in H_D^1(\Omega)$ 这样对于所有人 $v\in H_0^1(\Omega)$ 它认为 $a(u,v) = l(v)$ 在哪里

\begin{aligned} a (u, v) & = (\nabla u, \nabla v)_{L^{2} (Ω)} \\ l (v) & = (f, v)_{L^{2} (Ω)} . \end{aligned}

$\begin{align} a(u,v) &= (\nabla u, \nabla v)_{L^2(\Omega)}\\ l(v) &= (f,v)_{L^2(\Omega)}. \end{align}$

现在，我该如何证明 $a(u,v)$ 是强制性的和有界的吗？如果 $u_D$ 曾经 $0$ 到处都是，然后我就会有 $a(u,v):H_0^1\times H_0^1\rightarrow \mathbf{R}$ 因此有可能显示出强制性和连续性，然后 LM 将保证一个独特的解决方案。但是我有 $a(u,v):H_D^1\times H_0^1\rightarrow \mathbf{R}$ . 我还能像往常一样以完全相同的方式显示连续性和强制性，然后是 Lax-Milgram（如果它不是来自 $X\times X$ ？）将举行？或者我应该怎么做？