从我读到的关于获得实数、对称、正定稀疏矩阵的条件数的内容中，我很难将它们拼凑在一起。
在我的代码中，我发现Cholesky 分解例程不完整（我想用作预处理器）。我还有一个ILU预条件器，我可以将其用作Wolfgang Bangerth在这个问题的病态版本中推荐的。
我想我可以使用 Cholesky 分解来估计条件数，但我不确定。
预处理器的结果是我的 CRS 矩阵。为了估计条件数，我需要最大和最小特征值的比率。使用它可以非常快速地进行编码。
但是我该如何使用得到特征值？
到目前为止，我看到的第二个最佳方法是将矩阵写入文件并使用scipy.sparse.linalg.lsmr来解决最小二乘问题。这也输出条件编号，但有点矫枉过正并且需要更多工作。
请理解矩阵和线性代数不是我的日常工作:)
可以从 Krylov 子空间方法（例如 GMRES）获得估计值，而PETSc 具有这方面的功能。
对于对称矩阵，2-范数条件数是谱条件数，并且存在估计 2-范数条件数的算法，因此如果您确实需要未预处理矩阵的条件数，您可以使用方法进行估计2-范数条件数也是如此。相同的方法适用于您的预处理矩阵，但如果它不是对称的，则 2 范数和谱条件数将不重合。另请注意，条件数与范数相关，因此您应该真正确定用于评估收敛性的范数中的条件数。
您可以使用 Gershgorin 圆定理粗略估计条件数。维基百科中的这篇文章有一个很好的解释：http ://en.wikipedia.org/wiki/Gershgorin_circle_theorem
对于复矩阵大小的, 它的 n 个 Gershgorin 圆是在复平面上画的，圆的中心是，第 i 个圆的半径为. 该定理说，每个特征值位于 Gershgorin 圈内。
对于 SPD 矩阵，特征值在实轴上，因此您可以估计可能的最高值和可能的最低值。使用它，您可以粗略估计条件数。