我有一个逆问题，其中需要确定可变数量的注射的最佳位置。

对我能做什么有什么想法吗？或者您可以指出我的任何来源（毫不奇怪，搜索“优化可变数量的变量”并不是很有成效）？

一种潜在的策略是使用混合整数公式，这在热交换网络合成或化学工艺设计等应用中非常常见，其中设计中使用的设备数量是先验未知的，但通常以一些数字（例如，由于成本限制，或一些特定于应用程序的直觉）。

基本的想法是你假设你最多有，比如说，$N$喷射器，并引入整数变量来模拟您拥有的喷射器数量；通常，公式使用二元变量，这可以更容易地“停用”对应于不存在的注入器的约束，以及“激活”对应于当前正在考虑的注入器数量的约束。

如果注入的次数是固定的，我可以很容易地想象实现 Simplex 或遗传算法（或实际上任何优化算法）。然而，随着变量数量的变化，Simplex 中的反射和 GA 中的交叉似乎变得不可能。

我想你的意思是 Nelder-Mead Simplex 算法？理论上，可以在迭代过程中改变决策变量的数量；例如，当在优化问题（例如，SQP 求解器）中使用降阶模型时，就会采用这种策略，尽管它需要对基础数值方法进行一些修改以解释变量数量的变化；您需要考虑的不同维度空间之间的（伪）可逆映射，并且您需要一个使您能够在中间方法中更改变量数量的实现。大多数实现假设一旦指定了初始问题数据，变量的数量就固定了，这从一开始就提出了实现问题。

我认为这种方法对您的应用程序的基本问题是，与模型缩减或自适应网格细化等不同，如何廉价地决定何时更改决策变量的数量以及数量不太清楚。

想到的第一个策略是您建议的策略：

我可以使用元优化器为给定的注射次数找到最佳位置，并为每次注射次数重复此过程，但这在计算上很昂贵。

...正如您所指出的，这种策略会很昂贵。混合整数公式也很昂贵，但如果有一个好的求解器和好的启发式选择，你可能会很幸运。

有大量关于地球物理学中“跨维”马尔可夫链蒙特卡罗方法的文献，其中地球物理模型由多个层组成，反演过程除了调整层的属性外，还会调整层数。这可能与您的问题非常相关。

但是，尚不清楚您的问题是否完全是逆问题-如果您要决定应该在哪里执行一系列注入，那是优化问题而不是参数估计问题，即使优化必须在相对于系统中一些随机参数的随机意义。