一维 Burger 方程数值方法的稳定性

计算科学 pde 有限差分 流体动力学 稳定
2021-12-21 03:20:15

我正在尝试以数值方式求解一维粘性 Burger 方程，但我无法应用 von Neumann 分析，因为该方程是非线性的。如何预测系统的稳定性标准？我还需要预测其无粘性时的标准（这基本上使其成为非线性平流方程）。

我使用的 FD 方案是时间的一阶 FT，平流项的一阶 BS 和扩散项的二阶 CS。虽然我知道有更好的 FD 方案，但我仍然想分析这个方案的稳定性。

更新
忘记包括初始条件和边界条件。没有它，一切都变得毫无意义。流域
在 -2<=x<=8 之间
初始条件是整个流域的 1<=u<=2
边界条件定义左右边界处的恒定正速度.

1个回答

一个有用的经验法则（尽管它并不总是稳定性的充分条件）是线性化方案的稳定性。由于您有一种线离散化方法，因此您可以在几何上将此视为空间离散化的雅可比的特征值乘以时间步长大小，位于时间离散化的绝对稳定区域内的条件。在您的情况下，这将为您提供与平流扩散问题稳定性相同的条件，但平流速度由初始数据的最大值给出。

当然，只有当初始数据为非负数时，您在空间上的后向差异才会稳定。

有关非线性 PDE 离散化稳定性的充分条件，请参见Strang 的论文。

在无粘性的情况下，众所周知（并且根据上面的推理）该方案对于 CFL 数是稳定的≤1.

其它你可能感兴趣的问题
上一篇带狄拉克源项的反应扩散问题的有限元离散化 下一篇PETSc 的 DMDA 是否依赖于未定义的行为？