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FEM：这是施加Dirichlet BC的正确方法

计算科学有限元有限差分数值分析

2021-12-12 05:05:54

我知道 Neumann BC 隐含在 FEM 语言中。但是，我已经看到了至少两种施加 Dirichlet BC 的方法

例如对于以下问题 1D，

\nabla^{2} u + \nabla u = 0, u_{l e f t} = 1, u_{r i g h t} = 0

$\nabla^2 u + \nabla u= 0, u_{left}= 1, u_{right}=0$

1）将组装好的“A”的第一行和最后一行设置为左侧的“0”，设置A（1,1）=1，A（end，end）=1，并指定边界值“1”和“ 0”在右手边向量“b”中。

2）在左侧将组装好的“A”的第一行和列，最后一行和列设置为“0”，然后执行与上述相同的操作。

这两种方法是不同的，第一种更直观（可能是有限差分用户的首选），而第二种听起来更严格，因为我们正在设置边界“元素”。

我知道这两种方式可能会针对某些特定情况产生不同的结果。任何机构都可以提供一些见解吗？

1个回答

我认为典型的方法是 1)，然后可以将其重新制定为更小的系统。

使用https://scicomp.stackexchange.com/a/5073/1804中的方法，假设您的有限元基系数组成一个向量，并且您可以将它们划分为向量和。然后你应该能够将你的系统排列成类似的东西 $\xi$ $\xi_{int}$ $\xi_{bc}$

\begin{aligned} [\begin{array}{cc} A_{i n t} & A_{i n t - b c} \\ 0 & I \end{array}] [\begin{matrix} ξ_{i n t} \\ ξ_{b c} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{i n t} \\ b_{b c} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \left[\begin{array}{cc} A_{int} & A_{int-bc} \\ 0 & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} \xi_{int} \\ \xi_{bc}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} b_{int} \\ b_{bc}\end{array}\right] \end{align}$

其中和是类似刚度的矩阵，是系统的载荷向量（在本例中，为零向量），包含离散化的边界条件。 $A_{int}$ $A_{int-bc}$ $b_{int}$ $b_{bc}$

从这个公式中，您可以重新公式化为一个更小的系统。

第二种方法听起来会给你一个奇异的系统，而产生的更小的系统只会控制内部自由度，这只有在你的狄利克雷条件为零时才有效。

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