求解包含线性项的非线性代数系统

计算科学 非线性方程 牛顿法
2021-12-02 05:18:01

我正在尝试解决一个特定的非线性方程组，写成F(x)=0以一种有效的方式。

进一步来说，

F(x)=(I−γA)x−g(x)+C
在哪里γ是标量常数，C是向量常数，A是一个常数矩阵，并且g是一个非线性函数Rn→Rn. 我用的是牛顿法，比较满意。它涉及计算雅可比行列式F′(x)=I−γA−g′(x)并在形式的每次牛顿迭代中求解线性系统F′(xk)Δxk=−F(xk)然后设置xk+1=xk+Δxk. 在这种特定情况下，它会快速收敛（最多 2-3 次迭代）并且一切正常。

然而，随着问题变得更加复杂并且我的方程组的大小增加，计算雅可比和求解该线性系统成为一个瓶颈。为了克服这个问题，我使用了一种简化的牛顿方法，该方法在整个牛顿迭代过程中保持 F' 不变，并使用一些并行计算，因为在我的情况下，雅可比行列式可以有效地并行计算。不幸的是，求解线性系统仍然是一个瓶颈（尽管使用了多种并行线性代数技术）。

我的问题是：有没有办法利用特定形式的F(i.e它是线性算子和非线性算子之和的事实）？特别是，我对需要我解决线性系统的方法特别感兴趣A（或者I−γA） 或者g′，但不是他们的总和。确实，我有特定的算法来用这些矩阵求解线性系统，但是用总和来求解线性系统 I−γA和g′非常低效（g′原来是块对角线所以添加I−γA搞砸了，并解决(I−γA)X=B由于 A 的特定结构，其本身不是问题）

谢谢

2个回答

请在您的问题中预先说明您正在解决反应扩散问题。您还应该知道，时间拆分方法（例如 Strang Splitting）对于这些问题非常流行，尽管它们可能存在严重的准确性和稳定性问题（例如，Ropp、Shadid 和 Ober，2004）。也就是说，您可以使用乘法迭代方法，最好作为线性或非线性 Krylov 方法的预处理器。解决(A+B)x=f, 计算

x~←x0+ω1A−1(f−(A+B)x0)
x1←x~+ω2B−1(f−(A+B)x~)

在哪里ω1,ω2是加权参数。该方法的迭代矩阵为

T=(1−ω1A−1(A+B))(1−ω2B−1(A+B))=(1−ω1−ω1A−1B)(1−ω2−ω2B−1A).

如果您选择，地图是可收缩的ω1,ω2这样|T|<1，这在无限期反应的情况下可能是不可能的。通常会使用 Krylov 方法（也许ω1=ω2=1) 而不是调优ω1和ω2.

是g′通过任何改变对矩阵其余部分的低秩校正？如果是这样，您可以考虑使用 Sherman-Morrison 公式：

http://en.wikipedia.org/wiki/Sherman –Morrison_formula

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