计算科学 - 半线性椭圆 PDE 的 Jacobi 方法的收敛性 - 吾爱随笔录

我有泊松方程的迭代有限差分方案

\nabla^{2} u = - ρ

$\nabla^2 u=-\rho$ 这是 Jacobi 方法，其形式为（对于一维系统）非线性方程是否有类似的方案我尝试了以下但无法得到一致的答案。

u_{i}^{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{i + 1}^{n} + u_{i - 1}^{n} + ρ_{i} h^{2})

$u^{n+1}_{i} = \frac{1}{2}(u^n_{i+1} + u^n_{i-1} + \rho_i~h^2)$

\nabla^{2} u = - ρ e^{u - v}

$\nabla^2u = -\rho ~e^{u-v}$

u_{i}^{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{i + 1}^{n} + u_{i - 1}^{n} + ρ_{i} e^{u_{i}^{n} - v_{i}} h^{2})

$u^{n+1}_{i} = \frac{1}{2}(u^n_{i+1} + u^n_{i-1} + \rho_i~e^{u^n_i-v_i}~h^2)$

上面，我给出了一个一维的例子。我正在解决一个立方体上的 3D 版本。立方体的正面和背面具有冯诺依曼边界条件（等于 0），顶部、底部、左侧和右侧具有狄利克雷边界条件（也等于 0）。我最初的猜测是无处不在。 $u = 0$