通常，收敛是指误差随着离散化的精细度而减小；即对于有限差分/有限元，这往往会处理网格间距$h$，并声称误差达到$0$，因为$h\rightarrow 0$。

通常渐近收敛是指当 $h$ 足够小时观察到的收敛行为。一个例子是有限差分：写出泰勒级数

$u(x+h) = u(x) + u'(x)h + \frac{u''(x)}{2}h^2 + \ldots$

你可以重新排列得到

$\left|\frac{u(x+h) - u(x)}{h} - u'(x)\right| = \left|\frac{u''(x)}{2}h + \frac{u'''(x)}{3!}h^2\ldots\right|$.

这为我们提供了有限差分误差的精确表达式。对于足够小的 $h$，$h^2 \ll h$ 和前导项 $\frac{u''(x)}{2}h = O(h)$ 将主导上述表达式。但是，这仅在 $h$ 足够小时才成立，这意味着这是一个渐近的结果。

另一个问题是，在求解偏微分方程时，有时可能存在影响方法收敛性的参数。例如，对于亥姆霍兹方程

这个参数是波数 $\kappa$，对于对流扩散$\kappa$, and for convection-diffusion

这个参数是$\epsilon$。大多数离散化实现渐近（准）最优行为，即当 $h$ 足够小（或随着离散化变得足够精细）时，解决方案将以某种方式表现。然而，$h$ 足够小的这个渐近限制也取决于这些参数；渐近收敛是有帮助的，但它并不能告诉你一切。$\epsilon$. Most discretizations achieve asymptotically (quasi)optimal behavior, that as $h$ is small enough (or as the discretization becomes fine enough), the solution will behave a certain way. However, this asymptotic limit for where $h$ is small enough can also depend on these parameters; asymptotic convergence is helpful, but it doesn't tell you everything.