计算科学 - 三次曲线上高斯路径积分的快速积分方案 - 吾爱随笔录

我需要数值计算以下形式的积分：

\int_{0}^{1} \frac{1}{2 π σ^{2}} \exp (- \frac{‖ (q_{0} t^{3} + q_{1} t^{2} + q_{2} t + q_{3}) - a ‖^{2}}{2 σ^{2}}) ‖ 3 q_{0} t^{2} + 2 q_{1} t + q_{2} ‖ d t .

$\int_0^1 \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\frac{\|(q_0t^3 + q_1t^2 + q_2t + q_3) - a\|^2}{2\sigma^2}\right)\|3q_0t^2 + 2q_1t + q_2\|\,dt.$ 这里，是中的常数向量，而是实数。这来自三次曲线上高斯的线积分。

q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}, a

$q_0,q_1,q_2,q_3,a$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

σ

$\sigma$

显然，我可以使用类似的东西将它集成到 Python 中scipy.integrate.quad，但这非常慢，而且这是我需要多次计算的积分。有谁知道我可以近似这种形式的积分的快速方法？

的某些特定值绘制被积函数，我会得到这样的结果：当然，这看起来像高斯。但是我看不到将积分重新表述为高斯积分的形式。当然，如果这真的是变相的高斯积分，那么通过误差函数的一些近似计算定积分很容易。 $q_i$

编辑：这当然不能简化为高斯积分。和的特定选择给出了以下被积函数的不对称图： $q_i$ $a$