计算科学 - 将有理数的第 N 个根计算为正确舍入的浮点数 - 吾爱随笔录

请原谅我的词汇量不足，因为我没有在这个领域接受过正规培训，这也是我问这个问题的原因——这可能是微不足道的，也可能是不可能的。

我想将以下形式的表达式评估为具有“正确”舍入的二进制浮点数，我担心双舍入会破坏我的结果：

\sqrt[c]{\frac{a}{b}} a \in N b, c \in N_{> 0}

$\sqrt[c]{\frac{a}{b}} \qquad a \in \mathbb N \quad b,c \in \mathbb N_{> 0}$

二进制浮点数主要是指普通的旧double，但由于我使用MPFR ，它可以具有任何有限精度。

通过正确舍入，我的意思是好像完整的表达式被评估为无限精度，然后正确舍入，没有任何“双舍入”破坏结果的机会。

我使用MPFR和GMP使用任意大小的整数和浮点数来处理这些表达式，到目前为止，我将工作分为两个步骤，四舍五入到中间更大的浮点数：

t = a / b t : e . g . b i n a r y 128

$t = a/b \qquad t:\mathrm{e.g.\ binary128}$

y = \sqrt[c]{t} y : e . g . b i n a r y 64

$y = \sqrt[c]{t} \qquad y: \mathrm{e.g.\ binary64}$

使用 MPFR 我可以计算两者 $a/b$ 和 $\sqrt[c] t$ 正确舍入到任意精度，但我不知道如何以保证完整表达式正确舍入的方式执行这两个步骤！

这是我目前正在做的代码示例。由于它是用 C 编写的，所以有点笨拙（没有重载或默认参数），但我希望即使您不精通这种语言或我使用的库，您也能看到这些步骤：

extern unsigned long int a, b, c;     // b and c != 0
MPFR_DECL_INIT( y, DBL_MANT_DIG    ); // Fits a double exactly
MPFR_DECL_INIT( t, DBL_MANT_DIG*2  ); // Twice the precision I want
mpfr_set_ui   ( t, a,    MPFR_RNDN ); // Exact conversion
mpfr_div_ui   ( t, t, b, MPFR_RNDN ); // Correctly rounded
mpfr_rootn_ui ( y, t, c, MPFR_RNDN ); // N'th root correctly rounded

我期待其中之一成立：

中间精度的两倍还不够
中间精度的两倍超过需要 - 我只需要 N 个额外的位
我需要以不同的方式做，但在有限的时间和空间内仍然是可能的
由于某种原因，无法保证正确的舍入