我试图推导出具有纯诺依曼边界条件的泊松方程的正确变分形式，以及一个额外的约束$\int_{\Omega} u \, {\rm d} x = 0$，如此链接中所述。

据我了解，问题可以定义为：

寻找$(u, c) \in V \times \mathbb{R}$这样

$F(u, c) = \frac1{2} \int \nabla u \cdot \nabla u - \int f u - \int_{\partial \Omega}g u + c \int u$

被最小化了$u$和$c$

为了最小化相对于$u$，我开始写

$\left. \frac{\partial}{\partial \epsilon}F(u + \epsilon v, c)\right|_{\epsilon=0} = 0$

这导致

$\int \nabla u \cdot \nabla v + \int c v = \int f v + \int_{\partial \Omega} g v$.

关于$c$这给了$\int u = 0$.

只需添加这两个等式就会导致链接中提到的变分形式（其中$d \int u = 0$对所有人$d \in \mathbb{R}$确保两个方程分别保持正确）。到目前为止这是正确的吗？

现在，在有限元描述中，我们还有一个未知数，$c$，即拉格朗日乘数，不是吗？要进入一组方程，方程的变分形式必须对所有方程都成立$N$测试函数（形状函数）$v$. 我是否正确，这将导致$N \times (N + 1)$矩阵方程？我是否也正确，因为表达式应该对所有人都有效$d \in \mathbb{R}$我们可以在这些表格的实际评估中选择一个随机值吗？