FFT 返回一个与输入数组具有相同维度的复数数组。输出数组的顺序如下：

1. 元素 0 包含零频率分量 F0。
2. 数组元素 F1 包含最小的非零正频率，它等于 1/(Ni Ti)，其中 Ni 是元素的数量，Ti 是采样间隔。
3. F2对应于频率2/(Ni Ti)。
4. 负频率以正频率的相反顺序存储，范围从最高负频率到最低负频率。

5. 对于偶数个点，返回的复数值对应的频率为：0, 1/(NiTi), 2/(NiTi), ..., (Ni/2–1)/(NiTi), 1/( 2Ti), –(Ni/2–1)/(NiTi), ..., –1/(NiTi) 其中 1/(2Ti) 是奈奎斯特临界频率。

6. 对于奇数点，返回的复数值对应的频率为：0, 1/(NiTi), 2/(NiTi), ..., (Ni–1)/2)/(NiTi), –( Ni–1)/2)/(NiTi), ..., –1/(NiTi)

使用这些信息，我们可以构建正确的频率向量，用于计算导数。下面是一段 Python 代码，它可以正确完成这一切。请注意，因子 2$\pi$N 由于 FFT 的归一化而被抵消。

from scipy.fftpack import fft, ifft, dct, idct, dst, idst, fftshift, fftfreq
from numpy import linspace, zeros, array, pi, sin, cos, exp, arange
import matplotlib.pyplot as plt


N = 100
x = 2*pi*arange(0,N,1)/N #-open-periodic domain                                                   

dx = x[1]-x[0]
y = sin(2*x)+cos(5*x)
dydx = 2*cos(2*x)-5*sin(5*x)


k2=zeros(N)

if ((N%2)==0):
    #-even number                                                                                   
    for i in range(1,N//2):
        k2[i]=i
        k2[N-i]=-i
else:
    #-odd number                                                                                    
    for i in range(1,(N-1)//2):
        k2[i]=i
        k2[N-i]=-i

dydx1 = ifft(1j*k2*fft(y))

plt.plot(x,dydx,'b',label='Exact value')
plt.plot(x,dydx1, color='r', linestyle='--', label='Derivative by FFT')
plt.legend()
plt.show()

Maxim Umansky 的回答详细描述了 FFT 频率分量的存储约定，但不一定解释为什么原始代码不起作用。代码中存在三个主要问题：

1. x = linspace(0,2*pi,N)：通过像这样构建您的空间域，您的x值将范围从$0$到$2\pi$，包容！这是一个问题，因为您的函数y = sin(2*x)+cos(5*x)在此域上并不是完全周期性的（$0$和$2\pi$对应于同一点，但它们被包含两次）。这会导致频谱泄漏，从而导致结果出现小偏差。您可以通过使用x = linspace(0,2*pi,N, endpoint=False)（或者x = 2*pi*arange(0,N,1)/N，正如 Maxim Umansky 所做的那样，这就是他所说的“开放周期域”）来避免这种情况。
2. k = fftshift(k)：正如 Maxim Umansky 解释的那样，您的k值需要按特定顺序排列以匹配 FFT 约定。fftshift对值进行排序（从小/负到大/正），这很有用 e. G。用于绘图，但对于计算不正确。
3. dydx1 = ifft(-k*1j*fft(y)).real:scipy将 FFT 定义为y(j) = (x * exp(-2*pi*sqrt(-1)*j*np.arange(n)/n)).sum(), i。e. 有一个因素$2\pi$在指数中，因此在推导导数公式时需要包含此因子。此外，对于scipy的 FFT 约定，这些k值不应带有减号。

因此，通过这三个更改，可以将原始代码更正如下：

from scipy.fftpack import fft, ifft, dct, idct, dst, idst, fftshift, fftfreq
from numpy import linspace, zeros, array, pi, sin, cos, exp
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100
x = linspace(0,2*pi,N, endpoint=False) # (1.)

dx = x[1]-x[0]
y = sin(2*x)+cos(5*x)
dydx = 2*cos(2*x)-5*sin(5*x)

k = fftfreq(N,dx)
# (2.)

dydx1 = ifft(2*pi*k*1j*fft(y)).real # (3.)

plt.plot(x,dydx,'b',label='Exact value')
plt.plot(x,dydx1,'r',label='Derivative by FFT')
plt.legend()
plt.show()