计算科学 - 解决一个_ = bAx=b重复，其中是具有变化权重的稀疏加权拉普拉斯矩阵一种A - 吾爱随笔录

计算科学稀疏矩阵迭代法线性系统

2021-12-18 10:32:52

在我正在处理的问题中，我需要反复求解，其中是稀疏图的加权拉普拉斯矩阵。右手边保持不变。然而，每次我求解系统时，只有一个图的权重发生变化，有效地改变了拉普拉斯矩阵中的 4 个系数（2 个对角线和 2 个非对角线条目）。 $Ax=b$ $A$

我目前在 Petsc 中使用 GMRES 求解器，并使用以前的解决方案作为初始猜测。然而，系数变化了 1 或 2 个数量级，并且不像系数轻微变化那样快。

我想知道是否有任何方法可以比我目前正在做的更快地解决这个问题。也许是利用问题的线性性质并涉及直接方法的东西。

2个回答

在我看来，您正在处理一系列线性系统，其中的低阶修改。 $A_j x_j = b$ $A_{j+1}$ $A_{j}$

在您的情况下，我将调查您为解决一个线性系统而构建的 Krylov 子空间 K = \text{range $V$} 是否一个问题的解决方案相关，即 $K = \text{range $V$}$ $A x = b$

(A + Δ A) (x + Δ x) = b .

$(A + \Delta A) (x + \Delta x) =b.$ 具体来说，我会先解决小密集问题

V^{T} (A + Δ A) V z = V^{T} b

$V^T(A + \Delta A) V z = V^T b$ 并使用

x_{0} = V z

$x_0 = Vz$ 作为我最初的猜测

x + Δ x

$x + \Delta x$ 将 GMRES 应用于下一个问题时。

我赌的是，这个最初的猜测会比原始问题的解决方案更好地为您服务。

在您的情况下，小密集问题是 Hessenberg 系统的低秩修改

H w = V^{T} b = e_{1}, H = V^{T} A V

$H w = V^T b = e_1, \quad H = V^T A V$ 这是由GMRES内部解决的。在这里，您可能会很好地应用评论中提到的 Sherman-Morrison-Woodbury 公式。

Michael Saunders 编写了一个稀疏的 LU 包，可以进行 rank-1 更新，LUSOL。您可以尝试使用它，因为您写道直接求解器对您的问题是可行的。

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