75k x 75k 双精度条目为 45 GB。这符合记忆，但几乎没有；你需要小心。

大多数语言中的线性代数例程都依赖于 Lapack 作为后端，这是一个用 Fortran 编写的高度优化的线性代数库。大多数 Lapack 例程就地运行：例如，它的 QR 例程xGEQRF不分配第二个和第三个矩阵来存储结果，而是用 R 覆盖 A，然后在其下三角部分存储 Q 的压缩表示（这将否则包含零）。通常，像 Numpy 这样的“用户友好”线性代数包会复制 A，调用xGEQRF，然后将 Q 和 R 重构为完整矩阵。

在你的情况下，你有内存空间来存储两个矩阵，但不是三个，所以你必须避免这种情况。所以Q, R = numpy.linalg.qr(A)行不通，但是您（几乎没有）空间来为 QR 分解进行 Lapack 调用，将 R 复制到另一个内存位置，并使用仍在内存中的隐式表示的 Q 就地计算其乘积（还有另一个 Lapack 例程，xORMQR）。

此外，使用 QR 计算伪逆仅适用于满秩矩阵。如果您的矩阵是秩退化的，您将不得不使用适用相同参数的 SVD。而且，您可能还需要实现某种形式的正则化/截断（例如，截断 SVD 或 Tikhonov，也称为岭回归）。

TL;DR：(1) 不要使用 QR，使用 SVD (2) 抛弃用户友好的库，直接使用 Lapack 界面。

尽管我不熟悉“距离度量”，但由于它们对矩阵重新排序和分类/聚类问题的实际适用性，网络上不乏有关图形拉普拉斯算子的信息。无向图拉普拉斯算子的零空间是众所周知的（1 的向量，或者如果图不是强连通的，则每个连通分量一个这样的向量）。

因为拉普拉斯算子的结构是众所周知的，所以您可能不需要求助于计算密集伪逆等蛮力技术。有更便宜/更快的工具 [sparse cholesky, lanczos, lobpcg] 可以以其他方式询问这些矩阵 [通过它求解，提取 Fiedler 向量或其他重要的特征向量，对逆的选定条目进行采样]。也许他们（或类似的东西）可以提供帮助？

您能否多写一些关于“距离度量”的内容，以及伪逆如何帮助您找到它们？

编辑鉴于您的更广泛的解释，这就是我会尝试的：

而不是寻找条目伪逆$\mathbf \Gamma$你的（单数）拉普拉斯算子$\mathbf L$, 考虑精确的逆$\mathbf \Gamma'$附近的（非奇异）矩阵，$\mathbf L' = \mathbf L + \sigma \mathbf I$， 在哪里$\sigma$是一些小的移位参数（例如，$1\times10^{-8}$）。

我希望（希望？）$\mathbf \Gamma'_{i,j}$非常接近$\mathbf \Gamma_{i,j}$，但前者更容易计算，因为您可以只使用稀疏 Cholesky 分解来表示$\mathbf \Gamma' = \left( \mathbf L + \sigma \mathbf I\right)^{-1}$， 然后$\mathbf \Gamma'_{ij} = \mathbf e_i \left( \mathbf L + \sigma \mathbf I\right)^{-1} \mathbf e_j$. 也就是说，通过在入口处包含单个 1 的向量直接反向求解$j$，然后提取$i$'解决方案的第一个条目。

这很容易在 Matlab 中编写代码。在一个小问题（N=5K？）上，您可以比较近似值$\mathbf \Gamma'_{i,j}$确切地说（$\sigma=0$)$\mathbf \Gamma_{i,j}$通过伪逆计算。如果它们非常接近，那么这可能就是您所需要的。（我希望它们会相差大约$\sigma \cdot \kappa$， 和$\kappa$条件编号）。