是的。您可以计算一个运行错误界限，即一个数字$\mu$这样的精确值之间的差异$y = p(x)$并且计算值满足$\hat{y}$满足

$$|y - \hat{y}| \leq \mu u.$$ 这里$u$是单位舍入。你可以相信符号计算的符号$y$， 什么时候$|\hat{y}| > \mu u$.

让$p(x) = \sum_{j=0}^n a_j x^j$，然后霍纳的方法计算

$$p_0 = a_n, \quad p_i = x p_{i-1} + a_{n-i}, \quad i = 1,2,\dotsc,n.$$ 如果$a_i$和$x$是机器编号，则可以按如下方式计算运行错误界限 $$\mu_0 = 0, \quad z_j = p_{j-1} x, \quad p_j = z_j + a_{n-j}, \quad \mu_j = \mu_{j-1} |x| + |z_j| + |p_j|, \quad j=1,2,\dotsc, n.$$ 算法返回$y = p_n$和$\mu = \mu_n$.

可以将该算法的成本从 5n 次浮点数降低到 4n 次浮点数，有关详细信息，请参阅 Higham 的《数值算法的准确性和稳定性》一书。

我想补充一点，除了 Carl Christian 建议使用运行误差界限之外，您还可以采用一般相对误差界限

$$\frac{|\hat p(x)-p(x)|}{|p(x)|} \leq \gamma_{2n}\,\mathrm{cond}(p,x),\qquad \gamma_{2n} \approx 2nu,\\ \mathrm{cond}(p,x) = \frac{\sum |a_i||x|^i}{|\sum a_i x^i|} = \frac{\tilde p(x)}{|p(x)|},$$ （见http://www-pequan.lip6.fr/~jmc/polycopies/Compensation-horner.pdf），然后可以强加标志正确的条件 $$\gamma_{2n}\mathrm{cond}(p,x) \leq 1, \quad\text{or}\quad |p(x)|\gtrsim 2nu\tilde p(x)$$

基本上所有这一切都是在识别那些$x$对多项式求值$x$条件良好，所以它只是条件数的一个界限。

为了$(x-1)^6$，这将导致类似$|x-1| > c u^{1/6}$在哪里$c$是一个小常数$c$和$u$是单位舍入。对于一个简单的根$\alpha$， 这将是$|x-\alpha| > c u$.