计算科学 - 如何在有限元中应用非零狄利克雷边界条件？ - 吾爱随笔录

如何在有限元中应用非零狄利克雷边界条件？

计算科学有限元边界条件

2021-12-09 11:52:54

我正在为矩形域上的稳态热传递编写代码。我在边缘指定温度 - 非零狄利克雷边界条件。方程可以写成

K T = Q

$KT=Q$

K

$K$ 为传导率矩阵，为未知节点温度向量，为由内部发热组成的热负荷向量。例如，系统可能看起来像

T

$T$

Q

$Q$

[\begin{matrix} K_{11} & K_{12} & K_{13} & \dots & K_{1 N} \\ K_{21} & K_{22} & K_{23} & \dots & K_{2 N} \\ ⋮ \\ K_{N 1} & K_{N 2} & K_{N 3} & \dots & K_{N N} \end{matrix}] [\begin{matrix} 100 \\ 200 \\ ⋮ \\ T_{N} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{1} \\ Q_{2} \\ ⋮ \\ Q_{N} \end{matrix}]

$\begin {bmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13} & \dots & K_{1N}\\ K_{21} & K_{22} & K_{23} & \dots & K_{2N}\\ \vdots\\ K_{N1} & K_{N2} & K_{N3} & \dots & K_{NN} \end{bmatrix} \begin {bmatrix} 100\\ 200\\ \vdots\\ T_N \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} Q_1\\ Q_2\\ \vdots\\ Q_N \end{bmatrix}$

非零温度应用于矩形域的边缘（非齐次狄利克雷边界条件）。如何处理计算上的非零狄利克雷边界条件来求解未知温度向量？

1个回答

考虑这样一个事实，即您的线性系统可以分为两部分：对应于已知 Dirichlet 自由度的方程和对应于未知自由度的方程。为了方便起见，假设您的未知向量被分解，因此个值是已知的，其余的是未知的。让“ ”下标表示的未知索引，让“中的已知 (Dirichlet) 索引。然后，线性系统可以写成以下方式： $k$ $T$ $u$ $T$ $d$ $T$

[\begin{matrix} K_{d d} & K_{d u} \\ K_{u d} & K_{u u} \end{matrix}] [\begin{matrix} T_{d} \\ T_{u} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{d} \\ Q_{u} \end{matrix}]

$\left[\begin{matrix} K_{dd} & K_{du} \\ K_{ud} & K_{uu} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} T_d \\ T_u \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Q_d \\ Q_u \end{matrix}\right]$

由于的值是已知的，我们可以立即丢弃这些行中的方程，从而得到这个系统： $T_d$

[\begin{matrix} K_{u d} & K_{u u} \end{matrix}] [\begin{matrix} T_{d} \\ T_{u} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Q_{u} \end{matrix}]

$\left[\begin{matrix} K_{ud} & K_{uu} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} T_d \\ T_u \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Q_u \end{matrix}\right]$

然后将已知值移到线性系统的右侧：

K_{u u} T_{u} = Q_{u} - K_{u d} T_{d}

$K_{uu}T_u = Q_u - K_{ud}T_d$

求解这组简化的线性方程组，你就有了未知数。另一种避免过多和归零，将设置为单位矩阵，并设置。您仍然需要以与上述相同的方式修改的条目，但这消除了实际重新创建稀疏矩阵以仅包含块的需要，同时仍保持线性系统的对称性。 $K$ $K_{du}$ $K_{ud}$ $K_{dd}$ $Q_d = T_d$ $Q_u$ $K_{uu}$

值得一提的是，即使索引集“ ”和“ ”不连续，这些技术仍然适用。您的簿记负担略高，但在概念上是相同的。 $d$ $u$

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