计算科学 - 无条件地求解具有正性保持特性的 ODE - 吾爱随笔录

计算科学颂时间积分隐式方法

2021-12-14 12:00:29

我有一个标量函数的 ODE $u=u(t)$ 形式：

\frac{d u}{d t} = L (u) .

$\frac{du}{dt}=L(u).$ 这里的功能

L = L (u)

$L=L(u)$ 满足：

L (0) = 0, L^{'} (u) \leq 0.

$L(0)=0, \quad L'(u)\le0.$ 那么很容易看出解

u = u (t)

$u=u(t)$ 具有以下属性：

(i) 如果初始值 $u(0)\ge0$ ，然后 $u(t)\ge0$ 对于任何 $t>0$ ;

(ii) 如果初始值 $-M\le u(0)\le M$ 和 $M>0$ ，然后 $-M\le u(t)\le M$ .

问题：我需要找到一种数值方法来解决这个 ODE，并在任意步长下保持两个属性或仅两个属性之一。我只知道欧拉后向法有这两个性质。你们中有人知道解决这个问题的高阶（例如三阶）方法吗？

任何指向文献或进一步阅读的链接将不胜感激。

1个回答

这两个属性通常被称为保持正性和保持单调性（更容易找到这个问题）。
查看http://www.ams.org/journals/mcom/2006-75-254/S0025-5718-05-01794-1/S0025-5718-05-01794-1.pdf和http://homepages。 cwi.nl/~willem/DOCART/SIAM_HRS.pdf似乎隐式欧拉是隐式线性多步方法中的一个例外，因为只有隐式欧拉允许时间步是任意的，同时保持单调性（第 5.3 节）。他们说对隐式线性多步方法的时间步长的限制并不比显式多步方法好多少。
在 Hairer-Wanner Vol.II, Section IV.11 中讨论了保持单调性的 Runge-Kutta 方法：隐式 Euler 是其中唯一一个具有阈值因子的方法 $\infty$ .
另请参阅http://www.cscamm.umd.edu/tadmor/pub/linear-stability/Gottlieb-Shu-Tadmor.SIREV-01.pdf，其中讨论了高阶强稳定性保持方法并概述了可用的方法（尽管不是无条件的 SSP）。

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