计算科学 - 通过 Eigen C++ 获得特定对称矩阵的最大特征值的最有效方法是什么 - 吾爱随笔录

计算科学 C++ 矩阵特征值本征对称

2021-12-02 12:11:09

假设我有一个对称矩阵 $A_{1000\times 1000}$ ，可以表示为：

$A = J G J^T$

在哪里 $J$ 在 1000x3 中是全列秩密集矩阵； $G$ in 3x3 是一个非奇异密集矩阵。

什么是仅获得最大特征值的最快方法 $A$ ?

我知道对称矩阵的特征值问题可以比一般密集矩阵更快，但是问题的以下特征可以使它更快吗？

能 $LDL^T$ 分解工作有什么好处？我宁愿通过 Eigen C++ 来实现它。

做 $B=J^TJG$ 具有相同的非零特征值 $A$ ?

1个回答

我们有矩阵 $A$ 可以表示为

$A = JGJ^T$ .

首先是计算矩阵的QR分解 $J$ . 由于矩阵的低秩，它可以非常快地完成，例如，改进的 Gram Schmidt 算法。现在我们可以写 $A$ 作为

$A = QR G R^TQ^T$ ,

在哪里 $Q$ 是一个正交矩阵 ( $Q^T Q = I$ ）。我们定义 $F$ 如下

$F = R G R^T$ ,

在哪里 $F$ 是一个 $3\times3$ 矩阵。这里的特征值 $F$ 将与您的原始矩阵相同 $A$ . 但是您可能还想计算的特征向量 $A$ ，所以我们继续。

计算特征分解 $F$ ：

$F = XDX^T$ ,

在哪里 $D$ 是对角矩阵，并且 $X$ 是正交的 ( $X^T X = I$ ）。然后，插入该表达式 $F$ 在公式中 $A$ 我们获得

$A = QXDX^TQ^T$ ,

可以重写为

$A = YDY^T$ ,.

所以 $Y = QX$ 是一个正交矩阵，其列是 $A$ ，和 $D$ 是具有特征值的对角矩阵 $A$ . 它是唯一的，除了列的顺序 $Y$ 和 $D$ .

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