计算科学 - 右手边不连续的 ODE 系统 - 吾爱随笔录

右手边不连续的 ODE 系统

计算科学 Python 颂

2021-12-21 12:51:43

我有一个一阶 ODE 系统。其中一个方程是 2 个因变量的分段函数。我尝试在 Python 环境中解决它。

\begin{aligned} {\dot{x}}_{1} & = x_{2} - x_{3} \\ {\dot{x}}_{2} & = x_{1} + x_{4} \\ {\dot{x}}_{3} & = {\begin{cases} (x_{2} - x_{4})^{(0.5)} & x_{2} \geq x_{4} \\ 0, & x_{2} < x_{4} \end{cases} \\ {\dot{x}}_{4} & = x_{3} - x_{1} \end{aligned}

$\begin{align}\dot x_1 &= x_2 - x_3\\ \dot x_2 &= x_1 + x_4\\ \dot x_3 &= \left\{ \begin{array}{ll} (x_2-x_{4})^{(0.5)} & x_2\ge x_{4}\\ 0, & x_2\lt x_{4} \end{array} \right.\\ \dot x_4 &= x_3 - x_1\end{align}$

（实际上这不是我真正的 ODE 系统。我只是制造它来勾勒我的问题。这是我真正的 ODE 系统

我仔细阅读了《A Primer of Scientific Programming with Python》一书。在那本书中，我们必须像这样编写 ODE：

\begin{aligned} \dot{u} & = f (u, t) \end{aligned}

$\begin{align}\dot u &= f(u,t)\end{align}$ 对于标量 ODE，u 和 f 对应于浮点对象，并且对应于 ODE 系统的数组。但没有提到右手边是否是未知变量的分段函数。

2个回答

大多数（如果不是全部）ODE 求解器在右侧有一定的连续性要求。如果不是这种情况，自适应求解器通常会将步长调节得越来越小（最终由于达到最小步长或类似情况而失败）。主要的例外是如果积分步骤恰好达到不连续点。

现在，您的函数仅在右侧的导数中不连续，但这种不连续性非常严重（从 0 到 ∞ 的跳跃）。您可以尝试逐字执行不连续性，但这可能会失败。

更好的选择是：

通过使用非常尖锐的sigmoid来平滑不连续性。无论如何，这可能也更现实。
使用事件检测来定位不连续点并在该点交换右侧。

典型的 ODE 求解器只需要为您提供一个描述右侧计算的函数。也就是说，他们将使用给定的参数调用此函数 $x,t$ 你只需要返回什么 $f(x,t)$ 是为了这些论点。在您的情况下，该函数的实现将只包含一个if语句。这在实践中是一件非常普遍的事情，任何好的 ODE 求解器都不会对它进行抨击。

在您的情况下，更大的问题是您的右手边不是 Lipschitz。大多数 ODE 求解器算法的收敛证明要求右手边如果 Lipschitz 来保证通常的收敛顺序。你在这里的右手边不满足这个要求——这可能意味着也可能不意味着你选择的方法以预期的速度收敛。但这是一个与你所问的问题不同的问题。

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