您试图求解的方程本质上是放在流形上时的“辐射传递”方程的类似物。在这个领域有大量的文献——天体物理学和核物理学，这两个领域这个方程很重要——明显的困难是你的领域是相当高维的：如果你的流形是三维的，那么你有一个五维问题。（对于二维流形，问题是三维的。）

解决这个问题的典型方法是：

• 通过一系列类似于扩散方程的方程来近似方程$x$
• 离散角方向$v$在与空间网格分开的网格上，然后在两者中获得张量积网格$x$和$v$.

还有许多其他方法，例如光线追踪或蒙特卡洛方法。搜索文献！

我环顾四周，发现这篇论文（不亚于 Shing-Tung Yau！）关于为单位切线束生成网格的问题$UT(S^2)$在 2 球体上$S^2$. 正如你所指出的，$UT(M)$可能不是微分同胚的$M \times S^n$. 例如，在尹的论文中，他们指出$UT(S^2)$是不平凡的，不能嵌入$\mathbb{R}^3$. 然而，局部捆绑包是可平凡化的，Yin 的论文建议一种方法是将流形划分为可平凡化的补丁，然后显式计算补丁之间的转换图。

您也许可以实现他们的想法，为$M$成一个网格$UT(M)$，它必须嵌入到更高维的欧几里得空间中。虽然许多有限元库（其中deal.II）可以解决表面上的偏微分方程，但我认为它们通常假设它是分别嵌入 2D 或 3D 的 1D 或 2D 表面。如果你正在处理一些简单的事情$UT(S^2)$，你必须将它嵌入$\mathbb{R}^4$，这可能超出了许多图书馆的职权范围。

您也可以尝试仅使用网格$M$或者，更符合论文的精神，网格用于一组重叠的补丁$M_\alpha$这样$UT(M)$在每一个上都是微不足道的$M_\alpha$. 如果您有计算过渡图的方法，则可以表示$f$在每个补丁中作为 Galerkin 基函数的张量积$\phi$定义于$M_\alpha$具有适当尺寸的球谐函数。然后，您可以尝试使用Schwarz 交替方法或其他一些域分解方法来求解您的 PDE。当然，您还必须先对网格进行分区。METIS是一个很好的工具，但你很可能会得到一个带有不可忽视的补丁的分区。然后可能有可能递归地划分非平凡的补丁。或者自己实现这一点可能是最容易的。