计算科学 - 求解混合左右矩阵方程的资源 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数矩阵线性求解器参考请求

2021-12-20 13:03:08

我正在寻找解决矩阵方程，但不确定从哪里开始寻找资源。方程是

A X + X B = C,

$AX + XB = C\,,$ 在哪里

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ,

B \in R^{m \times m}

$B\in\mathbb{R}^{m\times m}$ ,

C \in R^{n \times m}

$C\in\mathbb{R}^{n\times m}$ 和

X \in R^{n \times m}

$X\in\mathbb{R}^{n\times m}$ . （或者

A X + X A = C

$AX + XA = C$ 和

n = m

$n=m$ 会很有用。）

我可以看到我可以把它变成一个系统

A^{'} x^{'} = b^{'},

$A'\mathbf{x}' = \mathbf{b}'\,,$ 和

A^{'} \in R^{n m \times n m}

$A' \in \mathbb{R}^{nm\times nm}$ ,

x \in R^{n m}

${\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{nm}}$ ,

b \in R^{n m}

${\mathbf{b}\in \mathbb{R}^{nm}}$ ，但想知道是否有任何捷径可以走。

1个回答

这个想法是使用 Schur 分解

A = U R U^{⊤}, B^{⊤} = V S V^{⊤},

$A = URU^\top, \qquad B^\top = VSV^\top,$ 以便

A X + X B = C

$AX+XB=C$ 被转化为

R Y + Y S^{⊤} = F, Y = U^{⊤} X V, F = U^{⊤} C V .

$RY+YS^\top = F, \qquad Y = U^\top XV, F = U^\top CV.$

自从 $R$ 是上三角形并且 $S^\top$ 下三角，这可用于直接求解系统。如果 $Y = [y_1, \ldots, y_m]$ 是的列 $Y$ ，和 $f_k$ 是的列 $F$ ，那么方程为 $y_k$ 只取决于 $y_{k+1},\ldots,y_m$ , 并且可以通过反向替换来解决：

(R + s_{k k} I) y_{k} = f_{k} - \sum_{j > k} s_{k j} y_{j} .

$(R+s_{kk}I)y_k = f_k - \sum_{j>k} s_{kj}y_j.$ 当使用真正的 Schur 分解时，这有时会是一个耦合线性方程

y_{k}, y_{k + 1}

$y_k, y_{k+1}$ 反而。

这也表明，如果 $m\neq n$ . 转换为通常的 Sylvester 方程 $m=n$ 也可以只用零填充矩阵以获得等效问题。

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